michael jackson
Senin, 28 Februari 2011
Sabtu, 26 Februari 2011
Rabu, 23 Februari 2011
Selasa, 22 Februari 2011
Senin, 21 Februari 2011
Minggu, 06 Februari 2011
terjemahan
Hasil Telusur
Translate | Jasa Translate | Jasa Terjemahan | Jasa Penerjemah ...
20 Nov 2010 ... Terjemahan, Penerjemah, Jasa Terjemahan, Jasa Penerjemah, Jasa Translate Indonesia Inggris, Translate English to Indonesia Service, ...
translatemu.com/ - TembolokJasa terjemahan Online
jasa terjemahan, jasa translator, jasa penerjemah indonesia inggris Bahasa inggris sebagai bahasa internasional dewasa ini makin banyak di butuhkan di ...
www.terjemahanku.com/ - TembolokTerjemahan | Jastika News and Lifestyle
8 Nov 2010 ... Layanan terjemahan Google Translate Akurat Banyak Yang Mengandalkan Google Translate English Bahasa Indonesia Tetapi Benarkah Hasil ...
jastika.com/2010/08/terjemahan-116.html - Tembolok
Lihat hasil penelusuran yang diterjemahkan dari bahasa Inggris ke Indonesia:
terjemahan (translation)
Hasil Telusur
Welcome to Facebook - Log In, Sign Up or Learn More
- [ Terjemahkan laman ini ]Berita untuk facebook
Julian Assange Kumpulkan Dana Lewat Facebook
7 jam yang lalu
TEMPO Interaktif, London - Pengacara pendiri WikiLeaks, Julian Assange mengumpulkan dana lewat situs jejaring sosial Facebook. Mereka membuat laman khusus ...Tempo Interaktif - Ditemukan 3 artikel yang sesuai
Sabtu, 05 Februari 2011
Keseimbangan Benda Tegar Edisi Kedua
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
1
Keseimbangan Benda Tegar
Edisi Kedua
Untuk SMA kelas XI
(Telah disesuaikan dengan KTSP)
Lisensi Dokumen :
Copyright © 2008‐2009 GuruMuda.Com
Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara
bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus
atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam
setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali
mendapatkan ijin terlebih dahulu dari GuruMuda.Com.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
2
Penulis
Alexander san lohat (san)
Saya berasal dari Lembata ‐ Flores Timur, Nusa Tenggara Timur, Indonesia Timur. Saat ini saya
tinggal di kota Yogyakarta dan sedang menyelesaikan tugas akhir saya untuk memperoleh gelar
sarjana pendidikan fisika (S.Pd), pada program studi pendidikan fisika, Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta. Saya adalah seorang blogger part time yang menghabiskan sebagian waktu
saya untuk membaca, menulis dan mengajar fisika melalui blog saya, gurumuda.com. Impian
saya adalah menjadi guru fisika online dan internet marketer full time. Minat saya adalah fisika,
pendidikan fisika, pengembangan diri dan bisnis.
Contact person :
HP : 085328084380 (sms terlebih dahulu jika anda ingin menelpon)
Email : info@gurumuda.com
Testimonial dan Saran
Apapun pendapat anda mengenai tulisan saya, silahkan memberikan testimonial atau saran konstruktif
demi pengembangan ebook ini menjadi lebih baik. Testimonial dan saran membangun dari anda bisa
dikirim ke email berikut :
saran@gurumuda.com
Terima kasih atas partisipasi anda.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
3
Materi Pembelajaran :
Keseimbangan Benda Tegar
Tujuan Pembelajaran :
Kompetensi Dasar :
Menformulasikan hubungan antara konsep torsi, momen inersia dan momentum sudut,
berdasarkan hukum II Newton serta penerapannya dalam masalah benda tegar
Indikator :
Menerapkan konsep titik berat benda dalam kehidupan sehari‐hari
Tujuan pembelajaran di atas merupakan tuntutan dari Depdiknas RI dalam KTSP. Jadi dirimu harus
mencapai Kompetensi dasar dan Indikator tersebut. Kalau tidak bisa, ntar dapat nilai merah :) alias tidak
lulus. Nah, kali ini Gurumuda membimbing dirimu untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran di atas.
Selamat Bertempurrrrr…. ☺
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
4
Pengetahuan Prasyarat
Sebelum mempelajari pokok bahasan Keseimbangan Benda Tegar, terlebih dahulu pelajari pokok
bahasan Dinamika Rotasi. Beberapa konsep dasar, seperti torsi, momen inersia, hukum II Newton untuk
gerak rotasi dkk telah dijelaskan dalam pokok Dinamika Rotasi. Pahami terlebih dahulu konsep‐konsep
dasar tersebut, biar dirimu tidak kebingungan dengan penjelasan gurumuda dalam pokok bahasan ini…
pelajari juga materi kelas X dan kelas XI semester I, khususnya Hukum Newton. Gurumuda menganggap
dirimu sudah memahami konsep‐konsep dasar yang telah dipelajari dalam pokok bahasan sebelumnya.
Download saja materinya di halaman ebook gratis, gurumuda.com…
KESEIMBANGAN BENDA TEGAR
Pengantar
Sejauh ini kita sudah mempelajari dan menganalisis benda‐benda yang bergerak. Setiap benda yang
bergerak tentu saja punya kecepatan. Jika benda melakukan gerak lurus, benda itu punya kecepatan
linear atau biasa disingkat kecepatan. Sedangkan benda yang melakukan gerak rotasi punya kecepatan
sudut. Btw, benda yang diam tidak mungkin tiba‐tiba saja bergerak, pasti ada penyebab yang membuat
benda itu bergerak. Demikian juga benda yang sedang bergerak tidak mungkin tiba‐tiba berhenti tanpa
penyebab. Dalam fisika, penyebab gerakan benda itu dikenal dengan julukan gaya. Sebuah benda bisa
bergerak lurus jika gaya yang dikerjakan pada benda itu lebih besar daripada gaya hambat (gaya
gesekan). Selisih antara gaya yang dikerjakan pada benda dengan gaya gesekan disebut gaya total. Jadi
yang membuat benda bisa bergerak lurus adalah gaya total. Mengenai hal ini sudah kita pelajari dalam
hukum II Newton (Dinamika).
Selain melakukan gerak lurus, benda juga bisa melakukan gerak rotasi. Benda yang melakukan gerak
rotasi disebabkan oleh adanya Torsi. Jika torsi yang dikerjakan pada benda yang diam lebih besar dari
torsi yang menghambat, maka benda akan berputar alias berotasi. Dalam hal ini selisih antara torsi yang
dikerjakan pada benda dengan torsi yang menghambat disebut torsi total. Jadi sebenarnya yang
membuat benda berotasi adalah torsi total. Torsi = gaya x lengan gaya. Ketika kita memberikan torsi
pada sebuah benda, sebenarnya kita memberikan gaya pada benda itu, tapi gaya itu dikalikan juga
dengan panjang lengan gaya. Terus torsi yang menghambat tuh maksudnya bagaimana‐kah ? Torsi yang
menghambat disebabkan oleh adanya gaya gesekan. Lebih tepatnya torsi yang menghambat = hasil kali
gaya gesekan denga panjang lengan gaya. Begitu….
Gurumuda mengulas lagi konsep‐konsep dinamika dan dinamika rotasi secara panjang pendek di atas,
biar dirimu mengenang kembali konsep2 itu. Konsep gaya total dan torsi total perlu dipahami dengan
baik sehingga bisa membantu kita lebih nyambung dengan pokok bahasan keseimbangan benda tegar.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
5
Dalam kehidupan sehari‐hari, tidak semua benda yang dijumpai selalu bergerak. Sebelum bergerak,
benda pasti diam, demikian juga setelah bergerak, mungkin benda akan berhenti. Di samping itu, ada
juga benda yang selalu diam atau dirancang untuk tetap diam. Kalau bergerak malah bisa menyebabkan
malapetaka. Salah satu contoh sederhana adalah jembatan dkk. Jembatan yang tidak dirancang dengan
baik akan ikut2an bergerak alias roboh jika tidak mampu menahan beban kendaraan yang lewat di atas
jembatan tersebut. Dirimu dan diriku akan ikut2an terjun bebas kalau lewat di jembatan seperti itu…
Gedung yang tidak dirancang dengan baik juga akan langsung roboh jika diguncang gempa bumi
berskala kecil atau besar. Syukur kalau ada gempa bumi baru roboh, angin niup dikit aja gedungnya
ikut2an dangdutan khan repot juga… masih banyak contoh lain…
Konsep keseimbangan benda tegar merupakan pengetahuan dasar yang sangat penting dan mempunyai
banyak penerapan dalam kehidupan sehari‐hari, khususnya bidang teknik. Kalau pingin kuliah bagian
teknik arsitek, teknik mesin atau teknik sipil kayanya dirimu perlu belajar pokok bahasan ini dengan
sungguh‐sungguh… kalau teknik pertubuhan (maksudnya kedokteran :D), gak tahu perlu apa tidak.
Belajar saja, siapa tahu bermanfaat juga di kemudian hari… potong memotong tubuh juga perlu pisau
bukan ? pisau itu juga termasuk benda tegar.. he2… Ingin jadi sopir taxi ? perlu belajar keseimbangan
benda tegar juga, biar mobil tidak berguling ria di jalan yang miring.
Dalam pembahasan ini, kita tetap menganggap benda sebagai benda tegar. Benda tegar tuh cuma
bentuk ideal yang kita pakai untuk menggambarkan suatu benda. Suatu benda disebut sebagai benda
tegar jika jarak antara setiap bagian benda itu selalu sama. Dalam hal ini, setiap benda bisa kita anggap
tersusun dari partikel‐partikel atau titik‐titik, di mana jarak antara setiap titik yang tersebar di seluruh
bagian benda selalu sama. Oya, lupa… benda tegar = benda kaku.
Dalam kenyataannya, setiap benda bisa berubah bentuk (menjadi tidak tegar), jika pada benda itu
dikenai gaya atau torsi. Misalnya beton yang digunakan untuk membangun jembatan bisa bengkok,
bahkan patah jika dikenai gaya berat yang besar (ada kendaraan raksasa yang lewat di atasnya) :D Derek
bisa patah jika beban yang diangkat melebihi kapasitasnya. Mobil bisa bungkuk kalau gaya berat
penumpang melebihi kapasitasnya. Dalam hal ini benda‐benda itu mengalami perubahan bentuk. Jika
bentuk benda berubah, maka jarak antara setiap bagian pada benda itu tentu saja berubah alias benda
menjadi tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu mempelajari faktor‐faktor apa saja
yang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar.
Dalam merancang sesuatu, para ahli teknik biasanya memperhitungkan hal ini secara saksama. Para ahli
perteknikan biasanya menganggap bentuk benda tetap tegar jika benda itu dikenai gaya atau torsi.
Mereka juga memperhitungkan faktor elastisitas bahan (Ingat hukum hooke dan elastisitas) dan
memperkirakan secara saksama gaya dan torsi maksimum agar benda tetap tegar. Demikian juga para
ahli teknik pertubuhan (dokter). Pengetahuan dan pemahaman yang baik dan benar mengenai gaya
pada otot dan sendi sangat membantu pasiennya untuk merayakan ulang tahun lagi, mempunyai gigi
yang rapi walaupun harus dipagari dengan kawat dulu dkk..…
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
6
Syarat‐syarat keseimbangan Statis
Seperti manusia yang kadang suka jalan‐jalan, kadang tidur alias diam, demikian juga benda. Benda juga
suka jalan‐jalan alias bergerak, kadang lagi malas, benda juga pingin diam :D Bedanya, manusia bisa
bergerak sendiri, kalau benda harus digerakkan. Demikian juga benda yang bergerak bisa berhenti kalau
dihentikan, sedangkan manusia semaunya saja ;) Pada kesempatan ini kita akan mengulas faktor‐faktor
apa saja yang menyebabkan benda menjadi malas bergerak alias tetap diam. Istilah kerennya benda
berada dalam keseimbangan statis (statis = diam). Selamat belajar ya, semoga dirimu tidak ikut2an
malas bergerak alias pingin diam terus, repot juga… nanti dikirain… kaburrrrr :D
Statika
Sebelum melangkah lebih jauh, alangkah baiknya jika kita bahas statika terlebih dahulu. Statika tuh ilmu
fisika yang mempelajari gaya yang bekerja pada sebuah benda yang diam (Benda berada dalam
kesetimbangan statis). Misalnya batu yang diam di atas permukaan tanah, mobil yang lagi parkir di jalan
atau garasi, kereta api yang lagi mangkal di stasiun, pesawat yang lagi baring‐baring di bandara dll.
Ketika sebuah benda diam, tidak berarti tidak ada gaya yang bekerja pada benda itu. Minimal ada gaya
gravitasi bumi yang bekerja pada benda tersebut (arah gaya gravitasi menuju pusat bumi alias ke
bawah). Jika ada gaya gravitasi, seharusnya benda bergerak dunk…. Kok bisa diam ya ? eyang Newton
dalam hukum II Newton mengatakan bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah benda
maka benda itu akan mengalami percepatan alias bergerak lurus. Ketika sebuah benda diam, gaya total
= 0. Pasti ada gaya lain yang mengimbangi gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Gaya apakah itu ? wah
gawat kalau dirimu sudah melupakannya… musuh bebuyutan gaya gravitasi adalah gaya normal. Untuk
memudahkan pemahamanmu, gurumuda pakai gambar saja ya…
Misalnya terdapat sebuah benda yang terletak di atas permukaan meja. Benda ini sedang diam. Pada
benda bekerja gaya berat (w) yang arahnya tegak lurus ke bawah alias menuju pusat bumi. Gaya berat
tuh gaya gravitasi yang bekerja pada benda. Gaya yang mengimbangi gaya gravitasi adalah gaya Normal
(N). Arah gaya normal tegak lurus ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Besar gaya normal =
besar gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Ingat ya, kedua gaya ini bukan aksi reaksi karena gaya
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
7
gravitasi dan gaya normal bekerja pada benda yang sama. Dua gaya disebut aksi reaksi jika bekerja pada
benda yang berbeda.
Benda dalam ilustrasi di atas dikatakan berada dalam keadaan keseimbangan statis. Pemahaman dan
perhitungan mengenai gaya‐gaya yang bekerja pada benda yang berada dalam keadaan seimbang
sangat penting, khususnya bagi para ahli perteknikan (arsitek dan insinyur). Dalam merancang sesuatu,
baik gedung, jembatan, kendaraan, dll, para arsitek dan insinyur juga memperhitungkan secara saksama,
apakah struktur suatu bangunan, kendaraan, dll, mampu menahan gaya‐gaya tersebut. Benda sekuat
apapun bisa mengalami perubahan bentuk (bengkok) atau bahkan bisa patah jika gaya yang bekerja
pada benda terlalu besar.
Syarat‐syarat keseimbangan
Sekarang mari kita melangkah lebih jauh. Kali ini kita mencoba melihat faktor‐faktor apa saja yang
membuat benda tetap dalam keadaan diam.
Syarat pertama
Dalam hukum II Newton, kita belajar bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah benda
(benda dianggap sebagai partikel tunggal), maka benda akan bergerak lurus, di mana arah gerakan
benda = arah gaya total. Kita bisa menyimpulkan bahwa untuk membuat sebuah benda diam, maka gaya
total harus = 0. Gaya total = Jumlah semua gaya yang bekerja pada benda.
Secara matematis bisa kita tulis seperti ini :
Persamaan Hukum II Newton :
Σ F = ma→a = 0
Ketika sebuah benda diam, benda tidak punya percepatan (a). Karena percepatan (a) = 0, maka
persamaan di atas berubah menjadi :
Σ F = 0
Kita bisa menguraikan persamaan ini ke dalam komponen sumbu x, sumbu y dan sumbu z
Σ Fx = 0→ Persamaan1
Σ Fy = 0→Persamaan2
Σ Fz = 0→ Persamaan3
Jika gaya‐gaya bekerja pada arah horisontal saja (satu dimensi), maka kita cukup menggunakan
persamaan 1. Huruf x menunjuk sumbu horisontal pada koordinat kartesius (koordinat x, y, z). Jika gayaSERI
EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
8
gaya bekerja pada arah vertikal saja (satu dimensi), maka kita cukup menggunakan persamaan 2. Huruf y
menunjuk sumbu vertikal pada koordinat kartesius.
Apabila gaya‐gaya bekerja pada bidang (dua dimensi), maka kita menggunakan persamaan 1 dan
persamaan 2. Sebaliknya jika gaya‐gaya bekerja dalam ruang (tiga dimensi), maka kita menggunakan
persamaan 1, 2 dan 3.
Ingat ya, gaya itu besaran vektor (besaran yang punya nilai dan arah). Dengan berpedoman pada
koordinat kartesius (x, y, z) dan sesuai dengan kesepakatan bersama, jika arah gaya menuju sumbu x
negatif (ke kiri) atau sumbu y negatif (ke bawah), maka gaya tersebut bernilai negatif. Kita cukup
menulis tanda negatif di depan angka yang menyatakan besar gaya.
Contoh :
Amati gambar di bawah
Keterangan gambar :
F = gaya tarik
Fg = gaya gesek
N = gaya normal
w = gaya berat
m = massa
g = percepatan gravitasi
Benda ini dikatakan berada dalam keadaan diam, karena jumlah semua gaya yang bekerja pada‐nya = 0.
Sekarang coba kita tinjau setiap gaya yang bekerja pada benda.
Gaya yang bekerja pada komponen horisontal (sumbu x) :
Σ Fx = 0
F − fg = 0
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
9
F = fg
Gaya tarik (F) dan gaya gesek (fg) mempunyai besar yang sama. Arah kedua gaya ini berlawanan. Arah
gaya tarik ke kanan atau menuju sumbu x positif (bernilai positif), sebaliknya arah gaya gesekan ke kiri
atau menuju sumbu x negatif (bernilai negatif). Karena besar kedua gaya sama (ditandai dengan panjang
panah) dan arahnya berlawanan, maka jumlah kedua gaya ini = 0.
Gaya yang bekerja pada komponen vertikal (sumbu y) :
Σ Fy = 0
N − w = 0
N −mg = 0
N = mg
Pada komponen vertikal (sumbu y), terdapat gaya berat (w) dan gaya normal (N). Arah gaya berat tegak
lurus menuju pusat bumi atau menuju sumbu y negatif (bernilai negatif), sedangkan arah gaya normal
berlawanan dengan arah gaya berat atau menuju sumbu y positif (bernilai positif) . Karena besar kedua
gaya ini sama sedangkan arahnya berlawanan maka kedua gaya saling melenyapkan.
Benda pada contoh di atas berada dalam keadaan seimbang alias diam, karena gaya total atau jumlah
semua gaya yang bekerja pada benda, baik pada sumbu horisontal maupun sumbu vertikal = 0.
Contoh 2 :
Amati gambar di bawah
Pada benda ini juga bekerja gaya berat dan gaya normal, seperti benda pada contoh 1. Tapi gurumuda
tidak menggambar komponen gaya berat dan gaya normal, karena kedua gaya itu saling melenyapkan.
Pada kedua sisi benda dikerjakan gaya seperti yang tampak pada gambar. Besar kedua gaya sama, tetapi
berlawanan arah. Apakah benda akan tetap dalam keadaaan seimbang alias diam ? tentu saja tidak...
benda akan berotasi.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
10
Untuk membantumu memahami hal ini, coba letakkan sebuah buku di atas meja. Selanjutnya, berikan
gaya pada kedua sisi buku itu, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Ketika kita memberikan gaya pada
kedua sisi buku, itu sama saja dengan kita memutar buku. Tentu saja buku akan berputar alias berotasi.
Dalam hal ini buku tidak berada dalam keadaan seimbang lagi.
Berdasarkan contoh 2 ini, bisa dikatakan bahwa untuk membuat sebuah benda tetap diam, syarat 1 saja
belum cukup. Kita masih membutuhkan syarat tambahan.
Catatan :
Pada contoh 2 di atas, sebenarnya pada benda itu dikerjakan torsi. Torsi = gaya (F) x lengan gaya (l).
Panjang lengan gaya (l) diukur dari sumbu rotasi benda tersebut. Dalam hal ini, yang membuat benda
berputar adalah torsi total. Jika kita menganggap tidak ada gaya gesekan pada benda di atas, maka torsi
total adalah jumlah torsi yang ditimbulkan oleh kedua gaya itu. Arah rotasi benda searah dengan
putaran jarum jam, sehingga kedua torsi bernilai negatif (tidak saling melenyapkan).
Syarat Kedua
Dalam dinamika rotasi, kita belajar bahwa jika terdapat torsi total yang bekerja pada sebuah benda
(benda dianggap sebagai benda tegar), maka benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian,
agar benda tidak berotasi (baca : tidak bergerak), maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semua
torsi yang bekerja pada benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :
Persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi :
Στ = Iα →α = 0
Ketika sebuah benda diam (tidak berotasi), benda tidak punya percepatan sudut (alfa). Karena
percepatan sudut = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi :
Στ = 0
Keterangan :
Σ(baca : sigma) = Jumlah
α (baca : alfa) = Percepa tan Sudut
τ = Torsi
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
11
Contoh 1 :
Amati gambar di bawah. Dua benda, masing‐masing bermassa m1 dan m2 diletakkan di atas papan
jungkat‐jungkit (m1 = m2). Lengan gaya untuk gaya berat m1 = l1, sedangkan lengan gaya untuk gaya
berat m2 = l2 (l1 = l2). Papan jungkat‐jungkit tidak bergerak alias berada dalam keadaan seimbang, karena
m1 = m2 dan l1 = l2. Arah rotasi itu sengaja gurumuda gambar, untuk menunjukkan kepada dirimu bahwa
jungkat‐jungkit juga bisa berotasi.
Gambar di atas disederhanakan sehingga yang kita tinjau hanya komponen gaya, lengan gaya dan torsi
yang bekerja pada benda.
Sekarang kita tinjau torsi yang bekerja pada papan jungkat‐jungkit di atas. Jika kita menganggap gaya F1
bisa menyebabkan papan jungkat jungkit bergerak ke bawah, maka arah putaran papan (sebelah kiri)
berlawanan dengan arah gerakan jarum jam. Karena arah putaran berlawanan dengan putaran jarum
jam, maka Torsi 1 (bagian kiri) bernilai positif.
Demikian juga, apabila kita menganggap gaya F2 bisa menyebabkan papan berputar maka arah putaran
papan (bagian kanan) searah dengan putaran jarum jam. Karena arah putaran papan searah dengan
gerakan jarum jam, maka torsi 2 bernilai negatif. Tanda positif dan negatif ini cuma kesepakatan saja...
Catatan :
Gaya yang diakibatkan oleh benda bermassa pada papan jungkat‐jungkit sebenarnya merupakan gaya
berat (w). Gurumuda menulis F saja biar dirimu bisa langsung nyambung dengan persamaan torsi.
Sekarang kita tinjau torsi yang bekerja pada bagian kiri :
τ = (F)(l sinθ )
( )( sin ) 1 1 1 τ = F l θ
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
12
Arah gaya tegak lurus dari sumbu rotasi, sehingga sudut yang dibentuk = 90o.
( )( sin 90 ) sin 90 1 1 1 1 τ = F l o → o =
( )( ) 1 1 1 τ = F l
Sekarang kita tinjau torsi yang bekerja pada bagian kanan :
( )( sin ) 2 2 2 −τ = F l θ
Arah gaya tegak lurus dari sumbu rotasi, sehingga sudut yang dibentuk = 90o.
( )( sin 90 ) sin 90 1 2 2 2 −τ = F l o → o =
( )( ) 2 2 2 −τ = F l
Torsi 1 dan torsi 2 sudah kita kupas tuntas. Kita oprek persamaan syarat kedua agar benda tetap dalam
keadaan seimbang :
Στ = 0
0 1 2 τ −τ =
0 1 1 2 F l − F l = l
1 1 2 F l F l l =
Selesai... ini cuma gambaran kasar. Dirimu bisa menggunakan contoh itu untuk mengoprek soal2 lainnya
yang berkaitan dengan syarat 2.....
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
13
Pusat Massa
Pusat massa ? apalagi ini… he2… sebelum gurumuda mengajakmu kenalan dan jalan‐jalan dengan pusat
massa, terlebih dahulu kita ulas beberapa hal yang berkaitan dengannya. Konsep pusat massa juga
berkaitan erat dengan titik berat alias pusat gravitasi yang akan kita pelajari nanti. Karenanya sebelum
belajar mengenai titik berat dkk, terlebih dahulu kita pahami konsep pusat massa. Met belajar ya,
semoga tiba dengan selamat di tempat tujuan.
Konsep Partikel
Dalam pokok bahasan gerak lurus (GLB, GLBB, Gerak jatuh bebas, Gerak Vertikal), gerak parabola dan
gerak melingkar, setiap benda kita anggap sebagai partikel; lebih tepatnya partikel tunggal. Penggunaan
istilah partikel ini hanya untuk mempermudah pembahasan mengenai gerakan, di mana suatu benda
digambarkan seperti suatu titik. Ketika sebuah benda bergerak, mobil misalnya, bagian depan, bagian
samping dan bagian belakang mobil itu mempunyai kecepatan yang sama. Apabila kita menganggap
mobil terdiri banyak titik yang tersebar di seluruh bagian mobil itu, maka ketika bergerak, setiap titik
yang tersebar di seluruh mobil itu punya kecepatan yang sama. Karenanya tidak ada salahnya jika kita
menganggap mobil seperti satu titik, karena gerakan satu titik bisa menggambarkan gerakan
keseluruhan mobil.
Perlu diketahui bahwa kita memperlakukan benda sebagai partikel tunggal hanya ketika benda‐benda
itu melakukan gerak translasi (gerak lurus, gerak parabola, gerak melingkar dkk). Jika suatu benda
melakukan gerak rotasi, benda tidak bisa kita anggap sebagai partikel karena kasusnya sudah berbeda.
Dalam gerak rotasi, benda dianggap sebagai benda tegar (benda terdiri dari banyak partikel, di mana
jarak antara setiap partikel yang menyusun benda itu selalu sama). Benda tidak bisa dianggap sebagai
partikel karena gerakan satu partikel tidak bisa mewakili keseluruhan gerakan benda. Dalam hal ini,
kecepatan setiap bagian benda yang melakukan gerak rotasi berbeda‐beda.
Pusat Massa
Dalam penjelasan sebelumnya, gurumuda mengatakan bahwa setiap benda dianggap sebagai partikel
apabila benda‐benda itu melakukan gerak translasi. Sebaliknya, benda‐benda yang melakukan gerak
rotasi dianggap sebagai benda tegar, bukan sebagai partikel. Walaupun demikian, ketika sebuah benda
berotasi atau melakukan gerak umum (mengenai gerak umum akan dijelaskan kemudian. Tuh di
bawah), terdapat satu bagian pada benda itu (bisa kita sebut sebagai partikel atau titik) yang bergerak
seperti sebuah partikel tunggal dalam gerak translasi. Titik ini dikenal dengan julukan pusat massa.
Untuk memudahkan pemahamanmu, gurumuda menggunakan contoh…
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
14
Contoh Gerak Umum 1 :
Ini merupakan salah satu contoh gerak umum. Gerak umum itu suatu jenis gerakan di mana benda tidak
melakukan gerak translasi murni. Dengan kata lain, tidak semua bagian benda bergerak melalui lintasan
yang sama. Perhatikan gambar gerakan tongkat di bawah. Tongkat melakukan gerak rotasi sepanjang
arah horisontal (ke kanan). Ketika berotasi, posisi tongkat selalu berubah‐ubah. Walaupun demikian,
terdapat satu bagian tongkat yang bergerak sepanjang lintasan lurus yang diberi garis putus‐putus.
Bagian tongkat itu gurumuda tandai dengan titik hitam. Bagian tongkat yang diberi tanda titik hitam itu
adalah pusat massa tongkat.
Contoh Gerak Umum 2 :
Tongkat dilempar ke atas dan gerakannya hanya dipengaruhi oleh gravitasi. Walaupun posisi tongkat
berubah‐ubah (gerakan tongkat kacau balau :D ), terdapat satu bagian tongkat (titik hitam pada tongkat)
yang bergerak menempuh lintasan yang sama. Bagian tongkat yang diberi titik hitam itu adalah pusat
massa tongkat. Pusat massa tongkat melakukan gerak translasi. Dalam hal ini lintasan pusat massa
tongkat berbentuk parabola, mirip seperti lintasan benda (benda dianggap sebagai partikel tunggal)
yang melakukan gerak parabola (ingat pokok bahasan gerak parabola)
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
15
Contoh Gerak Menggelinding :
Amati gambar di bawah ya… Ini merupakan gambar sebuah benda (gak tahu namanya apa :D ), sedang
menggelinding (ke kanan). Sepanjang gerakannya, benda tidak tergelincir alias tidak selip. Perhatikan
titik A dan B. Ketika benda menggelinding ke kanan, posisi titik A selalu berubah, sedangkan titik B tetap.
Titik B merupakan pusat massa benda. Arah lintasannya berupa garis putus‐putus. Dalam hal ini titik B
(pusat massa) melakukan gerak lurus, sedangkan titik A melakukan gerak rotasi.
Contoh Gerak Lurus :
Ini merupakan contoh sebuah benda yang melakukan gerak lurus. Titik hitam itu mewakili pusat massa
benda. Jika bentuk benda beraturan, seperti gambar di bawah, pusat massa‐nya terletak tepat di tengah
benda itu.
Seperti yang kita lihat pada gambar, ketika benda melakukan gerak lurus, pusat massa benda juga
melakukan gerak lurus. Lintasannya ditandai dengan garis putus‐putus. Jadi tidak ada salahnya jika
setiap benda yang melakukan gerak translasi dianggap sebagai partikel alias titik. Partikel alias titik itu
bisa menggambarkan pusat massa benda. Dengan kata lain, ketika kita mengandaikan setiap benda
seperti partikel, kita menganggap massa benda seolah‐olah terkonsentrasi pada pusat massa‐nya.
Karenanya analisis kita hanya terbatas pada titik dimana pusat massa benda berada.
Menentukan Posisi Pusat Massa
Pada pembahasan sebelumnya, gurumuda sudah mengantarmu berjalan‐jalan bersama pusat massa,
kali ini kita mencoba mengoprek persamaan yang akan digunakan untuk menentukan posisi pusat massa
benda. Ingat ya, pembahasan mengenai pusat massa gurumuda selipkan di topik keseimbangan benda
tegar. Dengan demikian, setiap benda yang kita analisis dianggap sebagai benda tegar. Penjelasan
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
16
panjang lebar mengenai partikel dkk di atas hanya mau mengantarmu untuk memahami konsep pusat
massa benda, sekaligus kita mencoba melihat kembali hubungan antara pusat massa dengan konsep
partikel yang kita pakai dalam menggambarkan benda yang melakukan gerakan translasi.
Bentuk benda dalam kehidupan kita beraneka ragam. Ada benda yang bentuknya beraturan, ada juga
benda yang bentuknya tidak beraturan. Untuk menentukan posisi pusat massa sebuah benda, mau tidak
mau kita harus menggunakan persamaan, tidak bisa pake tebak menebak…
Setiap benda tegar bisa dianggap tersusun dari banyak partikel, di mana jarak antara setiap partikel
selalu sama. Walaupun demikian, untuk membantu kita menurunkan persamaan pusat massa, kita
membuat penyederhanaan, dengan menganggap benda tegar hanya terdiri dari dua partikel. Kita bisa
menyebut kedua partikel ini sebagai sistem benda tegar. Untuk lebih mempermudah lagi, kita
menggunakan bantuan sistem koordinat. Harap dimaklumi.. fisika itu banyak keanehannya :D Amati
gambar di bawah.
m1 = massa partikel 1, m2 = massa partikel 2. Kedua partikel berada pada sumbu x. Partikel 1 berjarak x1
dari sumbu y dan partikel 2 berjarak x2 dari sumbu y. Pusat massa bisa kita singkat PM. Karena kedua
partikel terletak pada sumbu x, maka pusat massa untuk kedua partikel itu bisa ditulis xPM. Sekarang
mari kita oprek persamaan pusat massa :
1 2
1 1 2 2
m m
m x m x
xPM
+
+
=
M
m x m x
xPM 1 1 2 2 +
=
M = m1 + m2 = Massa total kedua partikel. Pusat massa terletak di antara kedua partikel itu.
Jika m1 = m2 = m, maka pusat massa tepat berada di tengah‐tengah kedua partikel. Secara matematis,
persamaannya bisa dioprek seperti ini :
m1 = m2 = m
m m
m x m x
xPM
+
+
= 1 1 2 2
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
17
m
m x x
xPM
2
( ) 1 2 +
=
( )
2
1
1 2 xPM = x + x
Jika m1 > m2 maka letak pusat massa lebih dekat dengan m1. Sebaliknya jika m2 > m1 maka letak pusat
massa lebih dekat dengan m2. Persamaan di atas hanya berlaku untuk satu dimensi, di mana benda
hanya berada pada salah satu sumbu koordinat (sumbu x)
Apabila kedua partikel tersebar dalam 2 dimensi, maka kita bisa mengoprek persamaan pusat massa
untuk koordinat y
Persamaan untuk koordinat y
1 2
1 1 2 2
m m
m y m y
yPM
+
+
=
M
m y m y
yPM 1 1 2 2 +
=
M = m1 + m2 = Massa total kedua partikel
Penurunan persamaan di atas baru terbatas pada 2 partikel. Jika terdapat banyak partikel, maka kita
bisa memperluas persamaannya...
Persamaan untuk koordinat x :
n
n n
m m m
m x m x m x
xPM
+ + +
+ + +
=
...
....
1 2
1 1 2 2
m M MassaTotal
m
m x
xPM i
i
i i →Σ = =
Σ
Σ
=
M
m x
xPM i i Σ
=
Persamaan untuk koordinat y :
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
18
n
n n
m m m
m y m y m y
yPM
+ + +
+ + +
=
...
....
1 2
1 1 2 2
i
i i
m
m y
yPM
Σ
Σ
=
M
m y
yPM i i Σ
=
Persamaan untuk koordinat z :
n
n n
m m m
m z m z m z
zPM
+ + +
+ + +
=
...
....
1 2
1 1 2 2
i
i i
m
m z
zPM
Σ
Σ
=
M
m z
zPM i i Σ
=
Jika partikel2 terletak sebidang (dua dimensi), maka pusat massanya berada di antara xPM dan yPM.
Sebaliknya, jika partikel2 terletak dalam ruang (tiga dimensi), maka pusat massanya berada di antara
xPM, yPM dan zPM.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
19
Titik Berat alias Pusat Gravitasi
Sebelumnya kita sudah mempelajari konsep pusat massa dan mengoprek persamaan untuk menentukan
pusat massa. Kali ini kita akan berkenalan dan jalan‐jalan bersama titik berat alias pusat gravitasi.
Konsep titik berat ini hampir sama dengan pusat massa. Karenanya gurumuda sengaja mengulas pusat
massa terlebih dahulu, sebelum membahas titik berat. Sebelum mempelajari titik berat, terlebih dahulu
kita pahami kembali konsep benda tegar dan gaya gravitasi yang bekerja pada benda itu. setelah itu
baru kita oprek titik berat… Met belajar ya….
Konsep Benda Tegar
Sebelum melangkah lebih jauh, terlebih dahulu gurumuda bahas kembali konsep benda tegar.
Tujuannya biar dirimu lebih nyambung dengan penjelasan mengenai titik berat.
Dalam ilmu fisika, setiap benda bisa kita anggap sebagai benda tegar (benda kaku). Benda tegar itu cuma
bentuk ideal yang membantu kita menggambarkan sebuah benda. Bagaimanapun setiap benda dalam
kehidupan kita bisa berubah bentuk (tidak selalu tegar/kaku), jika pada benda tersebut dikenai gaya
yang besar. Setiap benda tegar dianggap terdiri dari banyak partikel alias titik. Partikel2 itu tersebar di
seluruh bagian benda. Jarak antara setiap partikel yang tersebar di seluruh bagian benda selalu sama.
Untuk membantumu lebih memahami konsep benda tegar, gurumuda menggunakan ilustrasi saja.
Amati gambar di bawah ya…..
Ini gambar sebuah benda (cuma contoh). Benda ini bisa kita anggap tersusun dari banyak partikel. Pada
gambar, partikel2 ditandai dengan titik hitam. Seharusnya semua bagian benda itu dipenuhi dengan titik
hitam, tapi nanti malah gambarnya jadi hitam semua. Maksud gurumuda adalah menunjukkan partikel2
alias titik2.
Titik Berat
Salah satu gaya yang bekerja pada setiap benda yang terletak di permukaan bumi adalah gaya gravitasi.
Gaya gravitasi yang bekerja pada suatu benda di sebut gaya berat (w). Untuk benda yang berukuran
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
20
besar, gaya gravitasi yang bekerja pada benda tersebut sebenarnya bukan cuma satu. Sebagaimana yang
telah gurumuda jelaskan di atas, setiap benda bisa kita anggap terdiri dari banyak partikel. Gaya gravitasi
sebenarnya bekerja pada tiap‐tiap partikel yang menyusun benda itu. Perhatikan gambar di bawah ya….
Benda ini kita anggap terdiri dari partikel‐partikel. Partikel2 itu diwakili oleh titik hitam. Tanda panah
yang berwarna biru menunjukkan arah gaya gravitasi yang bekerja pada tiap2 partikel. Seandainya
benda kita bagi menjadi potongan2 yang sangat kecil, maka satu potongan kecil itu = satu partikel.
Jumlah partikel sangat banyak dan masing‐masing partikel itu juga punya massa. Secara matematis bisa
ditulis sebagai berikut :
m1 = partikel 1, m2 = partikel 2, m3 = partikel 3, m4 = partikel 4, m5 = partikel 5, ……, mn = partikel
terakhir. Jumlah partikel sangat banyak, lagian kita juga tidak tahu secara pasti ada berapa jumlah
partikel. Untuk mempermudah, maka kita cukup menulis titik2 (….) dan n. Simbol n melambangkan
partikel yang terakhir.
Gaya gravitasi bekerja pada masing‐masing partikel itu. Secara matematis bisa kita tulis sebagai berikut :
Gaya gravitasi yang bekerja pada partikel = gaya berat partikel
m1g = w1 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 1
m2g = w2 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 2
m3g = w3 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 3
m4g = w4 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 4
m5g = w5 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 5
Dan seterusnya………………….
Mng = wn = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel terakhir
Apabila benda berada pada tempat di mana nilai percepatan gravitasi (g) sama, maka gaya berat untuk
setiap partikel bernilai sama. Arah gaya berat setiap partikel juga sejajar menuju ke permukaan bumi.
Untuk mudahnya bandingkan dengan gambar di atas. Untuk kasus seperti ini, kita bisa menggantikan
gaya berat pada masing‐masing partikel dengan sebuah gaya berat tunggal (w = mg) yang bekerja pada
titik di mana pusat massa benda berada. Jadi gaya berat ini mewakili semua gaya berat partikel. Titik di
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
21
mana gaya berat bekerja (dalam hal ini pusat massa benda), di sebut titik berat. Nama lain dari titik
berat adalah pusat gravitasi. Titik berat disebut juga sebagai pusat gravitasi karena gaya berat
merupakan gaya gravitasi yang bekerja pada benda.
Keterangan :
w = gaya berat = gaya gravitasi yang bekerja pada benda
m = massa benda
g = percepatan gravitasi
Bentuk benda simetris, sehingga pusat massa dengan mudah ditentukan. Pusat massa untuk benda di
atas tepat berada di tengah‐tengah. Jika bentuk benda tidak simetris atau tidak beraturan, maka pusat
massa benda bisa ditentukan menggunakan persamaan (persamaan untuk menentukan pusat massa
benda ada di pokok bahasan pusat massa).
Jika benda berada pada tempat yang memiliki nilai percepatan gravitasi (g) yang sama, maka gaya
gravitasi bisa dianggap bekerja pada pusat massa benda itu. Untuk kasus seperti ini, titik berat benda
berada pada pusat massa benda.
Perlu diketahui bahwa penentuan titik berat benda juga perlu memperhatikan syarat‐syarat
keseimbangan. Untuk kasus di atas, titik berat benda harus terletak pada pusat massa benda, agar
syarat 1 dan syarat 2 terpenuhi. Syarat 1 mengatakan bahwa sebuah benda berada dalam keseimbangan
statis jika jumlah semua gaya yang bekerja pada benda = 0.
Syarat 2 mengatakan bahwa sebuah benda berada dalam keseimbangan statis jika tumlah semua torsi
yang bekerja pada benda = 0. Ketika titik berat berada pada pusat massa, lengan gaya = 0. Karena lengan
gaya nol, maka tidak ada torsi yang dihasilkan oleh gaya berat (Torsi = gaya x lengan gaya = gaya berat x
0 = 0 ). Syarat 2 terpenuhi.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
22
Titik berat benda untuk tempat yang memiliki percepatan gravitasi (g) yang berbeda
Pada pembahasan sebelumnya, kita menganggap titik berat benda terletak pada pusat massa benda
tersebut. Hal ini hanya berlaku jika benda berada di tempat yang memiliki percepatan gravitasi (g) yang
sama. Benda yang berukuran kecil bisa memenuhi kondisi ini, tetapi benda yang berukuran besar tidak.
Demikian juga benda yang diletakkan miring (lihat contoh di bawah).
Bagaimanapun, percepatan gravitasi (g) ditentukan oleh jarak dari pusat bumi. Bagian benda yang lebih
dekat dengan permukaan tanah (maksudnya lebih dekat dengan pusat bumi), memiliki g yang lebih
besar dibandingkan dengan benda yang jaraknya lebih jauh dari pusat bumi. Untuk memahami hal ini,
amati ilustrasi di bawah.…
Sebuah balok kayu diletakkan miring. Kita bisa menganggap balok kayu tersusun dari potonganpotongan
yang sangat kecil. Potongan2 balok yang sangat kecil ini bisa disebut sebagai partikel alias titik.
Massa setiap partikel penyusun balok sama. Bentuk balok simetris sehingga kita bisa menentukan pusat
massanya dengan mudah. Pusat massa terletak di tengah‐tengah balok (lihat gambar di atas).
Karena semakin dekat dengan pusat bumi, semakin besar percepatan gravitasi, maka partikel penyusun
balok yang berada lebih dekat dengan permukaan tanah memiliki g yang lebih besar. Sebaliknya, partikel
yang berada lebih jauh dari permukaan tanah memiliki g lebih kecil. Pada gambar di atas, partikel 1 yang
bermassa m1 memiliki g lebih besar, sedangkan partikel terakhir yang bermassa mn memiliki g yang lebih
kecil. Huruf n merupakan simbol partikel terakhir. Jumlah partikel sangat banyak dan kita juga tidak tahu
secara pasti berapa jumlah partikel, sehingga cukup disimbolkan dengan huruf n. Lebih praktis…
Karena partikel yang bermassa m1 memiliki g lebih besar, maka gaya berat yang bekerja padanya lebih
besar dibandingkan dengan partikel terakhir. Jika kita amati bagian balok, dari m1, hingga mn, tampak
bahwa semakin ke atas, jarak bagian balok2 itu dari permukaan tanah semakin jauh. Tentu saja hal ini
mempengaruhi nilai g pada masing‐masing partikel penyusun balok tersebut. karena massa partikel
sama, maka yang menentukan besar gaya berat adalah percepatan gravitasi (g). semakin ke atas, gaya
berat (w) setiap partikel semakin kecil.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
23
Bagaimana‐kah titik berat balok di atas ? Titik berat alias pusat gravitasi balok tidak tepat berada pada
pusat massanya. Titik berat berada di bawah pusat massa balok. Hal ini disebabkan karena gaya berat
partikel2 yang berada di bawah balok (partikel2 yang lebih dekat dengan permukaan tanah) lebih besar
daripada gaya berat partikel2 yang ada di sebelah atas pusat massa (partikel2 yang lebih jauh dari
permukaan tanah)..
Btw, hampir semua benda yang kita pelajari berukuran kecil sehingga kita tetap menganggap titik berat
benda berhimpit dengan pusat massa. Memang jarak antara setiap partikel dari pusat bumi (dari
permukaan tanah), berbeda‐beda. Tapi karena perbedaan jarak itu sangat kecil, maka perbedaan
percepatan gravitasi (g) untuk setiap partikel tidak terlalu besar. Karenanya, perbedaan percepatan
gravitasi bisa diabaikan. Kita tetap menganggap setiap bagian benda memiliki percepatan gravitasi yang
sama.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
24
Jenis‐jenis keseimbangan
Dirimu pernah naik kapal laut‐kah ? wah, sayang kalau belum…. Biasanya kalau gelombang laut cukup
tinggi sehingga kapal berdisco ria dan nyaris tenggelam, kapten kapal menyuruh semua penumpang
untuk turun ke dek/tingkat paling bawah. Bila perlu tidur di antara mesin ;) Katanya sich biar kapal tidak
tenggelam... itu katanya. Kalau lagi liburan n mau pulang kampung, gurumuda juga biasa naik kapal laut.
Lebih asyik, bisa cuci mata…. Dek bawah harus terisi semua, tidak boleh sepih penumpang. Alasannya,
seandainya ada gelombang dasyat di tengah laut, kapal tidak terjun bebas ke dasar laut. Btw, mengapa
harus demikian‐kah ? met belajar ya, jawabannya ada di bagian paling bawah…
Seperti yang sudah gurumuda jelaskan pada pokok bahasan syarat‐syarat keseimbangan statis, sebuah
benda berada dalam keadaan diam jika tidak ada gaya total dan torsi total yang bekerja pada benda
tersebut. Dengan kata lain, jika gaya total dan torsi total = 0, maka benda berada dalam keseimbangan
statis (statis = diam). Btw, tidak semua benda yang kita jumpai dalam kehidupan sehari‐hari selalu
berada dalam keadaan diam. Mungkin pada mulanya benda diam, tetapi jika diberi gangguan (misalnya
ditiup angin) benda bisa saja bergerak. Persoalannya, apakah setelah jalan‐jalan, benda itu kembali lagi
ke posisinya semula atau benda sudah bosan di posisi semula sehingga malas balik. Hal ini sangat
bergantung pada jenis keseimbangan benda tersebut. Masalah ini yang akan kita kupas tuntas pada
kesempatan ini. Daripada kelamaan dan jadi basi, mending kita langsung menuju sasaran saja….
Jika sebuah benda yang sedang diam mengalami gangguan (maksudnya terdapat gaya total atau torsi
total yang bekerja pada benda tersebut), tentu saja benda akan bergerak (berpindah tempat). Setelah
bergerak, akan ada tiga kemungkinan, yakni : (1) benda akan kembali ke posisinya semula, (2) benda
berpindah lebih jauh lagi dari posisinya semula, (3) benda tetap berada pada posisinya yang baru.
Apabila setelah bergerak benda kembali ke posisinya semula, benda tersebut dikatakan berada dalam
keseimbangan stabil (kemungkinan 1). Apabila setelah bergerak benda bergerak lebih jauh lagi, maka
benda dikatakan berada dalam keseimbangan labil alias tidak stabil (kemungkinan 2) Sebaliknya, jika
setelah bergerak, benda tetap berada pada posisinya yang baru, benda dikatakan berada dalam
keseimbangan netral (kemungkinan 3) Untuk lebih memahami persoalan ini, alangkah baiknya jika
gurumuda jelaskan satu persatu…
Keseimbangan Stabil
Misalnya mula‐mula benda diam, dalam hal ini tidak ada gaya total atau torsi total yang bekerja pada
benda tersebut. Jika pada benda dikerjakan gaya atau torsi (terdapat gaya total atau torsi total pada
benda itu), benda akan bergerak. Benda dikatakan berada dalam keseimbangan stabil, jika setelah
bergerak, benda kembali lagi ke posisi semula. Dalam hal ini, yang menyebabkan benda bergerak
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
25
kembali ke posisi semula adalah gaya total atau torsi total yang muncul setelah benda bergerak. Untuk
memudahkan pemahamanmu, cermati contoh di bawah…..
Contoh 1 :
Amati gambar di bawah. Sebuah bola berwarna biru digantung dengan seutas tali. Mula‐mula benda
berada dalam keseimbangan statis/benda diam (gambar 1). Setelah didorong, benda bergerak ke kanan
(gambar 2). Sekuat apapun kita mendorong atau menarik bola, bola akan kembali lagi ke posisi semula
setelah puas bergerak.
Sebagaimana tampak pada gambar, titik berat bola berada di bawah titik tumpuh. Untuk kasus seperti
ini, bola atau benda apapun yang digantung selalu berada dalam keseimbangan stabil.
Amati gambar 2. Bola bergerak kembali ke posisi seimbang akibat adanya gaya total yang bekerja pada
bola (w sin teta). Gaya tegangan tali (T) dan komponen gaya berat yang sejajar dengan tali (w cos teta)
saling melenyapkan, karena kedua gaya ini memiliki besar yang sama tapi arahnya berlawanan.
Contoh 2 :
Sebuah bola berada dalam sebuah mangkuk ;) besar. Mula‐mula bola berada dalam keadaan diam
(gambar 1). Setelah digerakkan, bola berguling ria ke kanan (gambar 2).
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
26
Perhatikan diagram gaya yang bekerja pada bola (gambar 2). Komponen gaya berat yang tegak lurus
permukaan mangkuk (w cos teta) dan gaya normal (N) saling melenyapkan, karena besar kedua gaya ini
sama dan arahnya berlawanan. Bola bergerak kembali ke posisinya semula akibat adanya komponen
gaya berat yang sejajar dengan permukaan mangkuk (w sin teta). w sin teta merupakan gaya total yang
berperan menggulingkan bola kembali ke posisi seimbang.
Contoh ini juga menunjukkan bahwa bola berada dalam keseimbangan stabil, karena setelah bergerak,
bola kembali lagi ke posisinya semula.
Contoh 3 :
Mula‐mula benda berada dalam keseimbangan statis / benda diam (gambar 1). Seperti yang tampak
pada gambar 1, jumlah gaya total yang bekerja pada benda = 0. Pada benda hanya bekerja gaya berat
(w) dan gaya normal (N), di mana besar gaya normal = besar gaya berat. Karena arahnya berlawanan,
maka kedua gaya ini saling melenyapkan.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
27
Gambar 2 menunjukkan posisi benda setelah di dorong. Perhatikan posisi titik berat dan titik tumpuh.
Jika posisi titik berat masih berada di sebelah kiri titik tumpuh, maka benda masih bisa kembali ke posisi
semula. Benda bisa bergerak kembali ke posisi semula akibat adanya torsi total yang dihasilkan oleh
gaya berat. Dalam hal ini, titik tumpuh berperan sebagai sumbu rotasi.
Bagaimana kalau benda terangkat ke kiri seperti yang ditunjukkan gambar 3 ? Kasusnya mirip seperti
ketika benda terangkat ke kanan (gambar 2). Perhatikan posisi titik berat dan titik tumpuh. Benda masih
bisa kembali ke posisi semula karena titik berat berada di sebelah kanan titik tumpuh. Torsi total yang
dihasilkan oleh gaya berat menggerakkan benda kembali ke posisi semula (Titik tumpuh berperan
sebagai sumbu rotasi)
Untuk kasus seperti ini, biasanya benda tetap berada dalam keseimbangan stabil kalau setelah bergerak,
titik berat benda tidak melewati titik tumpuh. Minimal titik berat tepat berada di atas titik tumpuh.
Untuk memahami hal ini, amati gambar di bawah…
Misalnya mula‐mula benda diam. Benda akan kembali ke posisi semula jika setelah didorong, posisi
benda condong ke kanan seperti ditunjukkan gambar 1 atau gambar 2. Dalam hal ini, titik berat benda
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
28
masih berada di sebelah kiri titik tumpuh atau titik berat tepat berada di atas titik tumpuh. Untuk kasus
seperti ini, benda masih berada dalam keseimbangan stabil.
Sebaliknya, apabila setelah didorong dan bergerak, titik berat benda berada di sebelah kanan titik
tumpuh, maka benda tidak akan kembali ke posisi semula lagi, tetapi terus berguling ria ke kanan/benda
terus bergerak menjahui posisi semula (gambar 3). Untuk kasus seperti ini, benda tidak berada dalam
keseimbangan stabil lagi.
Perhatikan gambar di bawah. Persoalannya mirip dengan contoh sebelumnya, bedanya benda bergerak
ke kiri. Benda berada dalam keseimbangan stabil (benda masih bisa bergerak kembali ke posisi
seimbang), jika setelah bergerak, titik berat benda berada di sebelah kanan titik tumpuh (gambar 1) atau
titik berat benda tepat berada di atas titik tumpuh (gambar 2). Sebaliknya, jika setelah didorong dan
bergerak, titik berat berada di sebelah kiri titik tumpuh, maka benda tidak akan kembali ke posisi
semula, tapi terus berguling ria ke kiri. Jika kasusnya seperti ini, benda tidak berada dalam
keseimbangan stabil. Benda berada dalam keseimbangan labil/tidak stabil.
Pada umum, jika titik berat benda berada di bawah titik tumpuh, maka benda selalu berada dalam
keseimbangan stabil. Sebaliknya, apabila titik berat benda berada di atas titik tumpuh, keseimbangan
benda menjadi relatif. Benda bisa berada dalam keseimbangan stabil, benda juga bisa berada dalam
keseimbangan labil. Batas maksimum keseimbangan stabil (benda masih bisa bergerak kembali ke posisi
semula) adalah ketika titik berat tepat berada di atas titik tumpuh. Hal ini disebabkan karena gaya
normal yang mengimbangi gaya gravitasi masih berada dalam daerah kontak, sehingga torsi yang
dikerjakan gaya berat bisa mendorong benda kembali ke posisi semula. Kalau titik berat sudah melewati
titik tumpuh, maka torsi yang dikerjakan oleh gaya berat akan membuat benda bergerak lebih jauh lagi.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
29
Keseimbangan Labil alias tidak stabil
Sebuah benda dikatakan berada dalam keseimbangan labil alias tidak stabil apabila setelah bergerak,
benda bergerak lebih jauh lagi dari posisinya semula. Biar lebih paham, perhatikan contoh di bawah….
Contoh 1 :
Sebuah balok mula‐mula diam (gambar 1). Setelah ditabrak tikus ;) , balok tersebut bergerak alias mau
tumbang ke tanah (gambar 2). Amati posisi titik berat dan titik tumpuh… Posisi titik berat berada di
sebelah kanan titik tumpuh. Adanya torsi total yang dihasilkan oleh gaya berat (w) membuat balok
bergerak semakin jauh dari posisinya semula (gambar 3). Titik tumpuh berperan sebagai sumbu rotasi…
Contoh 2 :
Sebuah bola, mula‐mula sedang diam di atas pantat wajan yang dibalik (gambar 1). Setelah ditiup angin,
bola bergerak ke kanan (gambar 2). Amati gaya‐gaya yang bekerja pada bola tersebut. Komponen gaya
berat yang tegak lurus permukaan wajan (w cos teta) dan gaya normal (N) saling melenyapkan karena
kedua gaya ini mempunyai besar yang sama tapi arahnya berlawanan. Btw, pada bola bekerja juga
komponen gaya berat yang sejajar permukaan wajan (w sin teta). w sin teta merupakan gaya total yang
menyebabkan bola terus berguling ria ke bawah menjahui posisinya semula.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
30
Keseimbangan Netral
Sebuah benda dikatakan berada dalam keseimbangan netral jika setelah digerakkan, benda tersebut
tetap diam di posisinya yang baru (benda tidak bergerak kembali ke posisi semula; benda juga tidak
bergerak menjahui posisi semula).
Contoh 1 :
Amati gambar di bawah… Bola berada di atas permukaan horisontal (bidang datar). Jika bola didorong,
bola akan bergerak. Setelah bergerak, bola tetap diam di posisinya yang baru. Dengan kata lain, bola
sudah malas balik ke posisinya semula; bola juga malas bergerak lebih jauh lagi dari posisinya semula.
Contoh 2 :
Ini gambar sebuah silinder (drum raksasa yang dicat biru ;) ). Silinder berada di atas permukaan bidang
datar. Kasusnya sama seperti bola di atas. Jika didorong, silinder akan berguling ria. setelah tiba di
posisinya yang baru, silinder tetap diam di situ. Si silinder dah malas jalan‐jalan…. Pingin bobo, katanya :)
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
31
Agar dirimu semakin paham, silahkan melakukan percobaan kecil2an… gunakan benda yang bentuknya
mirip dengan benda2 di atas.
Berdasarkan penjelasan panjang lebar di atas, ada beberapa hal yang dapat gurumuda simpulkan.
Pertama, jika titik berat benda berada di bawah titik tumpuh, maka benda selalu berada dalam
keseimbangan stabil (benda masih bisa bergerak kembali ke posisi semula setelah puas jalan‐jalan).
Contohnya adalah ketika sebuah benda digantung dengan tali. Untuk kasus seperti ini, titik berat benda
selalu berada di bawah titik tumpuh (titik tumpuh berada di antara tali dan tiang penyanggah).
Kedua, jika titik berat benda berada di atas titik tumpuh, keseimbangan bersifat relatif. Benda bisa
berada dalam keseimbangan stabil, benda juga bisa berada dalam keseimbangan labil/tidak stabil.
Perhatikan gambar di bawah….. Apabila setelah didorong, posisi benda seperti yang ditunjukkan pada
gambar 1, benda masih bisa kembali ke posisi semula (benda berada dalam keseimbangan stabil).
Sebaliknya, apabila setelah didorong, posisi benda seperti yang ditunjukkan gambar 2, benda tidak bisa
kembali ke posisi semula. Benda akan terus berguling ria ke kanan (benda berada dalam keseimbangan
tidak stabil/labil)
Ketiga, keseimbangan benda sangat bergantung pada bentuk/ukuran benda. Benda yang kurus dan
langsing berada dalam keseimbangan tidak stabil jika posisi berdiri benda tersebut tampak seperti yang
ditunjukkan gambar 1. Alas yang menopang benda tidak lebar. Ketika disentuh sedikit saja, benda
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
32
langsung tumbang. Perhatikan posisi tiik berat dan titik tumpuh. Sebaliknya, benda yang gemuk lebih
stabil (lihat gambar 2). Alas yang menopang benda lumayan lebar. Setelah bergerak, titik beratnya masih
berada di sebelah kiri titik tumpuh, sehingga benda masih bisa kembali ke posisi semula.
Keempat, keseimbangan benda tergantung pada jarak titik berat dari titik tumpuh. Jika posisi berdiri
benda seperti pada gambar 1, benda berada dalam keseimbangan tidak stabil. Angin niup dikit aja,
benda langsung berguling ria… bandingkan dengan contoh benda kurus sebelumnya.
Sebaliknya, jika posisi benda tampak seperti pada gambar 2, benda berada dalam keseimbangan stabil.
Kata si benda, daripada berdiri mending bobo saja… biar kalau ada tikus yang nabrak, diriku tidak
ikut2an tumbang… Sekarang perhatikan jarak antara titik berat dan titik tumpuh. Ketika benda berdiri
(gambar 1), jarak titik berat dan titik tumpuh lumayan besar. Ketika benda bobo (gambar 2), jarak antara
titik berat dan titik tumpuh sangat kecil.
Kita bisa menyimpulkan bahwa keseimbangan benda sangat bergantung pada jarak titik berat dari titik
tumpuh. Semakin jauh si titik berat dari si titik tumpuh (gambar 1), keseimbangan benda semakin tidak
stabil. Sebaliknya, semakin dekat si titik berat dari si titik tumpuh (gambar 2), keseimbangan benda
semakin stabil.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
33
Jawaban pertanyaannya mana ? oh, pertanyaan di awal tulisan ini‐kah ? Konsep2nya khan sudah
gurumuda jelaskan secara panjang lebar…. Sekarang, dirimu bisa memikirkan jawabannya sendiri ya….
guampang kok…. Masukan jawaban melalui kolom komentar. Gurumuda akan memberikan berjuta2
pujian kepadamu, kalau jawabannya benar….
Oya, pertanyaan tambahan… Kalau ayam, tikus dan manusia sama‐sama berdiri, manakah yang
mempunyai keseimbangan yang lebih stabil ?
Penyelesaian masalah keseimbangan benda tegar
Jangan dihafal…. Tidak akan ada soal yang sama. Pahami saja jalan ceritanya…
Contoh soal 1 :
Sebuah benda bermassa 10 kg digantungkan pada seutas tali (lihat gambar di bawah). Tentukan
tegangan tali…. (g = 10 m/s2)
Panduan Jawaban :
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
34
Langkah 2 : menumbangkan soal
Perhatikan diagram gaya di atas :
Pada benda hanya bekerja gaya berat (w) dan gaya tegangan tali (T) pada arah vertikal. Sesuai dengan
kesepakatan bersama, gaya bernilai positif jika arahnya menuju sumbu y positif, sedangkan gaya bernilai
negatif jika arahnya menuju sumbu y negatif.
Syarat sebuah benda berada dalam keadaan seimbang (untuk arah vertikal / sumbu y) :
Σ Fy = 0
T − w = 0
T − mg = 0
T = mg
T = (10kg)(10m/ s 2 )
T =100kgm/ s 2 =100N
Gaya tegangan tali = 100 N. Guampang sekali…. Next level
Contoh soal 2 :
Dua benda, sebut saja benda A (10 kg) dan benda B (20 kg), diletakkan di atas papan kayu (lihat gambar
di bawah). Panjang papan = 10 meter. Jika benda B diletakkan 2 meter dari titik tumpuh, pada jarak
berapakah dari titik tumpuh benda A harus diletakkan, sehingga papan berada dalam keadaan seimbang
? (g = 10 m/s2)
Panduan Jawaban :
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
35
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
Langkah 2 : menumbangkan soal
Perhatikan diagram di atas. Gaya yang bekerja pada papan adalah gaya berat benda B (FB), gaya berat
benda A (FA), gaya berat papan (w papan) dan gaya normal (N). Titik hitam (sebelah atasnya w papan),
merupakan titik tumpuh. Titik tumpuh berperan sebagai sumbu rotasi…..
Gaya berat papan (w papan) dan gaya normal (N) berhimpit dengan titik tumpuh / sumbu rotasi
sehingga lengan gaya‐nya nol. w papan dan N tidak dimasukkan dalam perhitungan…
Torsi 1 = Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat benda B (torsi bernilai positif)
B B = F l 1 τ
( )(2 ) 1 τ = mg m
((20 )(10 / 2 )(2 )
1 τ = kg m s m
(200 / 2 )(2 )
1 τ = kgm s m
2 2
1 τ = 400kgm / s
Torsi 2 = Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat benda A (torsi bernilai negatif)
A A − = F l 2 τ
((10 )(10 / 2 )( )
2 −τ = kg m s x
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
36
(100 / 2 )( )
2 −τ = kgm s x
Papan berada dalam keadaan seimbang jika torsi total = 0.
Στ = 0
0 1 2 τ −τ =
400kgm2 / s 2 − (100kgm/ s 2 )(x) = 0
400kgm2 / s 2 = (100kgm/ s 2 )(x)
2
2 2
100 /
400 /
kgm s
x = kgm s
x = 4m
Agar papan berada dalam keadaan seimbang, benda A harus diletakkan 4 meter dari titik tumpuh.
guampang sekali….
Next level….
Contoh soal 3 :
Sebuah kotak bermassa 100 kg diletakkan di atas sebuah balok kayu yang disanggah oleh 2 penopang
(lihat gambar di bawah). Massa balok = 20 kg dan panjang balok = 20 meter. Jika kotak diletakkan 5
meter dari penopang kiri, tentukkan gaya yang bekerja pada setiap penopang tersebut.
Panduan Jawaban :
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
37
Catatan :
Perhatikan gambar di atas. Pada alas kotak juga bekerja gaya normal (N) yang arahnya ke atas. gaya
normal ini berperan sebagai gaya aksi. Karena ada gaya aksi, maka timbul gaya reaksi yang bekerja pada
balok kayu. Kedua gaya ini memiliki besar yang sama tapi berlawanan arah (kedua gaya saling
melenyapkan). Karenanya gurumuda tidak menggambarkan kedua gaya itu pada diagram di atas..
Keterangan diagram :
F1 = gaya yang diberikan penopang (sebelah kiri) pada balok
F2 = gaya yang diberikan penopang (sebelah kanan) pada balok
w kotak = gaya berat kotak
w balok = gaya berat balok (bekerja pada titik beratnya. Titik berat balok berada di tengah2… )
Langkah 2 : menumbangkan soal
Pada persoalan di atas terdapat 2 titik tumpuh, yakni titik tumpuh yang berada disekitar titik kerja F1 dan
titik tumpuh yang berada di sekitar titik kerja F2. Kita bisa memilih salah satu titik tumpuh sebagai
sumbu rotasi… Terserah kita, mau pilih titik tumpuh di bagian kiri (sekitar titik kerja F1) atau bagian
kanan (sekitar titik kerja F2). Hasilnya sama saja…
Misalnya kita pilih titik tumpuh di sekitar titik kerja F2 (bagian kanan) sebagai sumbu rotasi. Karena F2
berada di sumbu rotasi, maka lengan gaya untuk F2 = 0 (F2 tidak menghasilkan torsi).
Sekarang mari kita oprek setiap torsi yang dihasilkan oleh masing‐masing gaya (kecuali F2).
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
38
Torsi 1 :
Torsi yang dihasilkan oleh F1. Arah F1 ke atas sehingga arah rotasi searah dengan putaran jarum jam.
Karenanya torsi bernilai negatif
(20 ) 1 1 −τ = F m
Torsi 2 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat kotak (w kotak). Arah w kotak ke bawah sehingga arah rotasi
berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Karenanya torsi bernilai positif.
( )(15 ) 2 τ = wkotak m
( )( )(15 ) 2 τ = MassaKotak g m
(100 )(10 / 2 )(15 )
2 τ = kg m s m
2 2
2 τ =15000kgm / s
Torsi 3 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat balok (w balok). Arah w balok ke bawah sehingga arah rotasi
berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Karenanya torsi bernilai positif.
( )(10 ) 3 τ = wbalok m
( )( )(10 ) 3 τ = MassaBalok g m
(20 )(10 / 2 )(10 )
3 τ = kg m s m
2 2
3 τ = 2000kgm / s
Torsi Total :
Benda berada dalam keadaan seimbang, jika torsi total = 0 (syarat 2 keseimbangan benda tegar).
Στ = 0
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
39
2 3 1 0 τ +τ −τ =
15000 / 2000 / ( )(20 ) 0 1
kgm2 s 2 + kgm2 s 2 − F m =
17000 / ( )(20 ) 0 1
kgm2 s 2 − F m =
17000 / ( )(20 ) 1
kgm2 s 2 = F m
m
F kgm s
20
17000 2 / 2
1 =
2
1 F = 850kgm/ s
Besarnya gaya yang bekerja pada penopang sebelah kiri = 850 kg m/s2 = 850 N
Sekarang kita hitung gaya yang bekerja pada penopang kanan… Benda berada dalam keseimbangan, jika
gaya total = 0 (syarat 1 keseimbangan benda – benda dianggap partikel). Catatan : gaya yang berarah ke
atas bernilai positif sedangkan gaya yang arahnya ke bawah bernilai negatif
Karena gaya2 di atas hanya bekerja pada arah vertikal (sumbu y), maka secara matematis, syarat 1
keseimbangan dirumuskan sebagai berikut :
Σ Fy = 0
0 1 2 F − wKotak − wBalok + F =
850 / (100 )(10 / ) (20 )(10 / ) 0 2
kgm s 2 − kg m s 2 − kg m s 2 + F =
850 / (1000 / ) (200 / ) 0 2
kgm s 2 − kgm s 2 − kgm s 2 + F =
350 / 0 2
− kgm s 2 + F =
2
2 F = 350kgm/ s
Ternyata besarnya gaya yang bekerja pada penopang sebelah kanan = 350 kg m/s2 = 350 N
Tugas dari gurumuda :
Tadi khan kita memilih sumbu rotasi di sekitar titik kerja F2. Seandainya sumbu rotasi bekerja di sekitar
titik kerja F1, hasilnya bagaimana‐kah ? coba dioprek… hasilnya pasti sama….btw, oprek saja dulu, biar
dirimu bisa membuktikan kebenaran pernyataan gurumuda.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
40
Contoh soal 4 :
Sebuah papan iklan yang massanya 50 kg digantung pada ujung sebuah batang besi yang panjangnya 5
meter dan massanya 10 kg (amati gambar di bawah). Sebuah tali dikaitkan antara ujung batang besi dan
ujung penopang. Tentukan gaya tegangan tali dan gaya yang dikerjakan oleh penopang pada batang
besi…..
Panduan Jawaban :
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
Keterangan diagram :
Fx = Gaya yang dikerjakan oleh penopang pada batang besi (komponen horisontal alias sumbu x)
Fy = Gaya yang dikerjakan oleh penopang pada batang besi (komponen vertikal alias sumbu y)
w batang besi = gaya berat batang besi (terletak di tengah‐tengah si batang besi)
w papan iklan = gaya berat papan iklan
Tx = gaya tegangan tali (komponen horisontal alias sumbu x)
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
41
Ty = gaya tegangan tali (komponen vertikal alias sumbu y)
Langkah 2 : menumbangkan soal
Gaya Fx dan Fy tidak diketahui. Oleh karena itu, alangkah baiknya kita pilih titik A sebagai sumbu rotasi.
karena berhimpit dengan sumbu rotasi maka lengan gaya untuk Fx dan Fy = 0 (tidak ada torsi yang
dihasilkan).
Torsi 1 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat batang besi. Arah w batang besi ke bawah, sehingga arah rotasi
searah dengan putaran jarum jam (Torsi bernilai negatif). Massa batang besi = 10 kg dan g = 10 m/s2.
Titik kerja gaya berada pada jarak 2,5 meter dari sumbu rotasi. Arah/garis kerja gaya berat tegak lurus
dari sumbu rotasi (90o)
sinθ 1 l = r
2,5 sin 90 sin 90 1 2 l = m o → o =
l 2,5m 2 =
( tan )(2,5 ) 1 −τ = wBa gBesi m
( )( )(2,5 ) 1 −τ = m g m
(10 )(10 / 2 )(2,5 )
1 −τ = kg m s m
2 2
1 −τ = 250kgm / s
Torsi 2 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat papan iklan. Arah w papan iklan ke bawah sehingga arah rotasi
searah dengan arah putaran jarum jam. Karenanya torsi bernilai negatif. Massa papan iklan = 50 kg dan
g = 10 m/s2. Titik kerja gaya berada pada jarak 4 meter dari sumbu rotasi. Arah/garis kerja gaya berat
tegak lurus dari sumbu rotasi (90o).
sinθ 2 l = r
4 sin 90 sin 90 1 2 l = m o → o =
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
42
l 4m 2 =
( )( ) 2 2 −τ = wPapanIklan l
( )( )(4 ) 2 −τ = m g m
(50 )(10 / 2 )(4 )
2 −τ = kg m s m
2 2
2 −τ = 2000kgm / s
Torsi 3 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya tegangan tali untuk komponen horisontal / sumbu x (Tx). Titik kerja gaya
tegangan tali berada pada jarak 5 meter dari sumbu rotasi. Perhatikan arah Tx pada diagram di atas….
Arah Tx sejajar sumbu rotasi (0o)
sinθ 3 l = r
5 sin 0 sin 0 0 3 l = m o → o =
0 3 l =
( )( ) 3 3 T l x τ =
( )(0) 3 x τ = T
0 3 τ =
Torsi 4 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya tegangan tali untuk komponen vertikal / sumbu y (Ty). Perhatikan arah
Tx pada diagram di atas…. Arah Ty tegak lurus sumbu rotasi (90o). Titik kerja gaya tegangan tali berada
pada jarak 5 meter dari sumbu rotasi. Karena arah gaya ke atas, maka arah rotasi berlawanan dengan
arah putaran jarum jam (Torsi bernilai positif).
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
43
sinθ 4 l = r
5 sin 90 sin 90 1 4 l = m o → o =
l 5m 4 =
( )( ) 4 4 τ = Ty l
( )(5 ) 4 τ = Ty m
Torsi Total :
Benda berada dalam keadaan seimbang, jika torsi total = 0 (syarat 2 keseimbangan benda tegar).
Στ = 0
0 4 3 2 1 τ +τ −τ −τ =
(Ty)(5m) + 0 − 2000kgm2 / s 2 − 250kgm2 / s 2 = 0
(Ty)(5m) − 2250kgm2 / s 2 = 0
(Ty)(5m) = 2250kgm2 / s 2
m
Ty kgm s
5
2250 2 / 2
=
Ty = 450kgm/ s 2
Gaya tegangan tali untuk komponen y = 450 kg m/s2 = 450 N
Kita bisa langsung menentukan Gaya tegangan tali untuk komponen x (Tx). Perhatikan lagi diagram di
atas. Tali membentuk sudut 30o terhadap batang besi. Karenanya besar tegangan tali untuk sumbu x (Tx)
dan sumbu y (Ty) bisa ditentukan dengan rumus sinus dan kosinus…
Tx = T cos teta
Ty = T sin teta
Ty = T sinθ
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
44
450kgm/ s 2 = T sin 30o
450kgm/ s 2 = T(0,5)
0,5
T = 450kgm/ s 2
T = 900kgm/ s 2
Nilai Tegangan tali (T) sudah diperoleh. Sekarang kita hitung Tx
Tx = T cosθ
Tx = (900kgm/ s 2 ) cos 30o
Tx = (900kgm/ s 2 )(0,87)
Tx = 783kgm/ s 2
Gaya tegangan tali untuk komponen x (Tx) = 783 kg m/s2 = 783 N
Gaya yang diberikan penopang pada batang besi berapa‐kah ?
Sekarang kita hitung gaya yang bekerja pada penopang… Benda berada dalam keseimbangan, jika gaya
total = 0 (syarat 1 keseimbangan benda).
Catatan :
Dengan berpedoman pada koordinat kartesius (x,y,z), gaya yang berarah ke atas dan ke kanan bernilai
positif sedangkan gaya yang arahnya ke kiri dan ke bawah bernilai negatif
Kita tinjau gaya‐gaya yang bekerja pada arah horisontal (sumbu x) terlebih dahulu. Lihat diagram di atas
dulu, biar nyambung... :
Σ Fx = 0
Fx − Tx = 0
Fx − 783kgm/ s 2 = 0
Fx = 783kgm/ s 2
Sekarang kita tinjau gaya‐gaya yang bekerja pada arah vertikal (sumbu y) :
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
45
Σ Fy = 0
Fy + Ty − wBa tan gBesi − wPapanIklan = 0
Fy + 450kgm/ s 2 −100kgm/ s 2 − 500kgm/ s 2 = 0
Fy −150kgm/ s 2 = 0
Fy =150kgm/ s 2
Selesai…. Bisa paham jalan cerita‐nya to ? sering2 latihan, pasti jadi mudah… next level
Contoh soal 5 :
Sebuah benda digantungkan pada kedua tali seperti tampak pada gambar di bawah. Jika massa benda =
10 kg, tentukan gaya tegangan kedua tali yang menahan benda tersebut…. (g = 10 m/s2)
Panduan Jawaban :
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
Keterangan gambar :
w = gaya berat benda = mg = (10 kg)(10 m/s2) = 100 kg m/s2
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
46
T1 = gaya tegangan tali (1)
T1x = gaya tegangan tali (1) pada sumbu x = T1 cos 45o = 0,7 T1
T1y = gaya tegangan tali (1) pada sumbu y = T1 sin 45o = 0,7 T1
T2 = gaya tegangan tali (2)
T2x = gaya tegangan tali (2) pada sumbu x = T2 cos 45o = 0,7 T2
T2y = gaya tegangan tali (2) pada sumbu y = T2 sin 45o = 0,7 T2
Langkah 2 : menumbangkan soal
Sebuah benda berada dalam keadaan seimbang, jika gaya total yang bekerja pada benda = 0 (syarat 1).
Terlebih dahulu kita tinjau komponen gaya yang bekerja pada arah vertikal (sumbu y) :
Σ Fy = 0
0 1 2 T y + T y − w =
0,7 0,7 100 / 2 0
1 2 T + T − kgm s =
+ = 2 →
1 2 0,7T 0,7T 100kgm/ s Persamaan 1
Sekarang kita tinjau komponen gaya yang bekerja pada arah horisontal (sumbu x) :
Σ Fx = 0
0 2 1 T x −T x =
0,7 0,7 0 2 1 T − T =
= → 2 1 T T Persamaan 2
Kita oprek lagi persamaan 1.
2
1 1 0,7T + 0,7T =100kgm/ s
2
1 1,4T =100kgm/ s
1,4
100 / 2
1
T = kgm s
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
47
2
T1 = 71,4kgm/ s
Karena T1 = T2, maka
T2 = 71,4 kg m/s2….
Guampang sekali…..
Referensi :
Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga
Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga
Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
48
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
1
Keseimbangan Benda Tegar
Edisi Kedua
Untuk SMA kelas XI
(Telah disesuaikan dengan KTSP)
Lisensi Dokumen :
Copyright © 2008‐2009 GuruMuda.Com
Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara
bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus
atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam
setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali
mendapatkan ijin terlebih dahulu dari GuruMuda.Com.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
2
Penulis
Alexander san lohat (san)
Saya berasal dari Lembata ‐ Flores Timur, Nusa Tenggara Timur, Indonesia Timur. Saat ini saya
tinggal di kota Yogyakarta dan sedang menyelesaikan tugas akhir saya untuk memperoleh gelar
sarjana pendidikan fisika (S.Pd), pada program studi pendidikan fisika, Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta. Saya adalah seorang blogger part time yang menghabiskan sebagian waktu
saya untuk membaca, menulis dan mengajar fisika melalui blog saya, gurumuda.com. Impian
saya adalah menjadi guru fisika online dan internet marketer full time. Minat saya adalah fisika,
pendidikan fisika, pengembangan diri dan bisnis.
Contact person :
HP : 085328084380 (sms terlebih dahulu jika anda ingin menelpon)
Email : info@gurumuda.com
Testimonial dan Saran
Apapun pendapat anda mengenai tulisan saya, silahkan memberikan testimonial atau saran konstruktif
demi pengembangan ebook ini menjadi lebih baik. Testimonial dan saran membangun dari anda bisa
dikirim ke email berikut :
saran@gurumuda.com
Terima kasih atas partisipasi anda.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
3
Materi Pembelajaran :
Keseimbangan Benda Tegar
Tujuan Pembelajaran :
Kompetensi Dasar :
Menformulasikan hubungan antara konsep torsi, momen inersia dan momentum sudut,
berdasarkan hukum II Newton serta penerapannya dalam masalah benda tegar
Indikator :
Menerapkan konsep titik berat benda dalam kehidupan sehari‐hari
Tujuan pembelajaran di atas merupakan tuntutan dari Depdiknas RI dalam KTSP. Jadi dirimu harus
mencapai Kompetensi dasar dan Indikator tersebut. Kalau tidak bisa, ntar dapat nilai merah :) alias tidak
lulus. Nah, kali ini Gurumuda membimbing dirimu untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran di atas.
Selamat Bertempurrrrr…. ☺
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
4
Pengetahuan Prasyarat
Sebelum mempelajari pokok bahasan Keseimbangan Benda Tegar, terlebih dahulu pelajari pokok
bahasan Dinamika Rotasi. Beberapa konsep dasar, seperti torsi, momen inersia, hukum II Newton untuk
gerak rotasi dkk telah dijelaskan dalam pokok Dinamika Rotasi. Pahami terlebih dahulu konsep‐konsep
dasar tersebut, biar dirimu tidak kebingungan dengan penjelasan gurumuda dalam pokok bahasan ini…
pelajari juga materi kelas X dan kelas XI semester I, khususnya Hukum Newton. Gurumuda menganggap
dirimu sudah memahami konsep‐konsep dasar yang telah dipelajari dalam pokok bahasan sebelumnya.
Download saja materinya di halaman ebook gratis, gurumuda.com…
KESEIMBANGAN BENDA TEGAR
Pengantar
Sejauh ini kita sudah mempelajari dan menganalisis benda‐benda yang bergerak. Setiap benda yang
bergerak tentu saja punya kecepatan. Jika benda melakukan gerak lurus, benda itu punya kecepatan
linear atau biasa disingkat kecepatan. Sedangkan benda yang melakukan gerak rotasi punya kecepatan
sudut. Btw, benda yang diam tidak mungkin tiba‐tiba saja bergerak, pasti ada penyebab yang membuat
benda itu bergerak. Demikian juga benda yang sedang bergerak tidak mungkin tiba‐tiba berhenti tanpa
penyebab. Dalam fisika, penyebab gerakan benda itu dikenal dengan julukan gaya. Sebuah benda bisa
bergerak lurus jika gaya yang dikerjakan pada benda itu lebih besar daripada gaya hambat (gaya
gesekan). Selisih antara gaya yang dikerjakan pada benda dengan gaya gesekan disebut gaya total. Jadi
yang membuat benda bisa bergerak lurus adalah gaya total. Mengenai hal ini sudah kita pelajari dalam
hukum II Newton (Dinamika).
Selain melakukan gerak lurus, benda juga bisa melakukan gerak rotasi. Benda yang melakukan gerak
rotasi disebabkan oleh adanya Torsi. Jika torsi yang dikerjakan pada benda yang diam lebih besar dari
torsi yang menghambat, maka benda akan berputar alias berotasi. Dalam hal ini selisih antara torsi yang
dikerjakan pada benda dengan torsi yang menghambat disebut torsi total. Jadi sebenarnya yang
membuat benda berotasi adalah torsi total. Torsi = gaya x lengan gaya. Ketika kita memberikan torsi
pada sebuah benda, sebenarnya kita memberikan gaya pada benda itu, tapi gaya itu dikalikan juga
dengan panjang lengan gaya. Terus torsi yang menghambat tuh maksudnya bagaimana‐kah ? Torsi yang
menghambat disebabkan oleh adanya gaya gesekan. Lebih tepatnya torsi yang menghambat = hasil kali
gaya gesekan denga panjang lengan gaya. Begitu….
Gurumuda mengulas lagi konsep‐konsep dinamika dan dinamika rotasi secara panjang pendek di atas,
biar dirimu mengenang kembali konsep2 itu. Konsep gaya total dan torsi total perlu dipahami dengan
baik sehingga bisa membantu kita lebih nyambung dengan pokok bahasan keseimbangan benda tegar.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
5
Dalam kehidupan sehari‐hari, tidak semua benda yang dijumpai selalu bergerak. Sebelum bergerak,
benda pasti diam, demikian juga setelah bergerak, mungkin benda akan berhenti. Di samping itu, ada
juga benda yang selalu diam atau dirancang untuk tetap diam. Kalau bergerak malah bisa menyebabkan
malapetaka. Salah satu contoh sederhana adalah jembatan dkk. Jembatan yang tidak dirancang dengan
baik akan ikut2an bergerak alias roboh jika tidak mampu menahan beban kendaraan yang lewat di atas
jembatan tersebut. Dirimu dan diriku akan ikut2an terjun bebas kalau lewat di jembatan seperti itu…
Gedung yang tidak dirancang dengan baik juga akan langsung roboh jika diguncang gempa bumi
berskala kecil atau besar. Syukur kalau ada gempa bumi baru roboh, angin niup dikit aja gedungnya
ikut2an dangdutan khan repot juga… masih banyak contoh lain…
Konsep keseimbangan benda tegar merupakan pengetahuan dasar yang sangat penting dan mempunyai
banyak penerapan dalam kehidupan sehari‐hari, khususnya bidang teknik. Kalau pingin kuliah bagian
teknik arsitek, teknik mesin atau teknik sipil kayanya dirimu perlu belajar pokok bahasan ini dengan
sungguh‐sungguh… kalau teknik pertubuhan (maksudnya kedokteran :D), gak tahu perlu apa tidak.
Belajar saja, siapa tahu bermanfaat juga di kemudian hari… potong memotong tubuh juga perlu pisau
bukan ? pisau itu juga termasuk benda tegar.. he2… Ingin jadi sopir taxi ? perlu belajar keseimbangan
benda tegar juga, biar mobil tidak berguling ria di jalan yang miring.
Dalam pembahasan ini, kita tetap menganggap benda sebagai benda tegar. Benda tegar tuh cuma
bentuk ideal yang kita pakai untuk menggambarkan suatu benda. Suatu benda disebut sebagai benda
tegar jika jarak antara setiap bagian benda itu selalu sama. Dalam hal ini, setiap benda bisa kita anggap
tersusun dari partikel‐partikel atau titik‐titik, di mana jarak antara setiap titik yang tersebar di seluruh
bagian benda selalu sama. Oya, lupa… benda tegar = benda kaku.
Dalam kenyataannya, setiap benda bisa berubah bentuk (menjadi tidak tegar), jika pada benda itu
dikenai gaya atau torsi. Misalnya beton yang digunakan untuk membangun jembatan bisa bengkok,
bahkan patah jika dikenai gaya berat yang besar (ada kendaraan raksasa yang lewat di atasnya) :D Derek
bisa patah jika beban yang diangkat melebihi kapasitasnya. Mobil bisa bungkuk kalau gaya berat
penumpang melebihi kapasitasnya. Dalam hal ini benda‐benda itu mengalami perubahan bentuk. Jika
bentuk benda berubah, maka jarak antara setiap bagian pada benda itu tentu saja berubah alias benda
menjadi tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu mempelajari faktor‐faktor apa saja
yang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar.
Dalam merancang sesuatu, para ahli teknik biasanya memperhitungkan hal ini secara saksama. Para ahli
perteknikan biasanya menganggap bentuk benda tetap tegar jika benda itu dikenai gaya atau torsi.
Mereka juga memperhitungkan faktor elastisitas bahan (Ingat hukum hooke dan elastisitas) dan
memperkirakan secara saksama gaya dan torsi maksimum agar benda tetap tegar. Demikian juga para
ahli teknik pertubuhan (dokter). Pengetahuan dan pemahaman yang baik dan benar mengenai gaya
pada otot dan sendi sangat membantu pasiennya untuk merayakan ulang tahun lagi, mempunyai gigi
yang rapi walaupun harus dipagari dengan kawat dulu dkk..…
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
6
Syarat‐syarat keseimbangan Statis
Seperti manusia yang kadang suka jalan‐jalan, kadang tidur alias diam, demikian juga benda. Benda juga
suka jalan‐jalan alias bergerak, kadang lagi malas, benda juga pingin diam :D Bedanya, manusia bisa
bergerak sendiri, kalau benda harus digerakkan. Demikian juga benda yang bergerak bisa berhenti kalau
dihentikan, sedangkan manusia semaunya saja ;) Pada kesempatan ini kita akan mengulas faktor‐faktor
apa saja yang menyebabkan benda menjadi malas bergerak alias tetap diam. Istilah kerennya benda
berada dalam keseimbangan statis (statis = diam). Selamat belajar ya, semoga dirimu tidak ikut2an
malas bergerak alias pingin diam terus, repot juga… nanti dikirain… kaburrrrr :D
Statika
Sebelum melangkah lebih jauh, alangkah baiknya jika kita bahas statika terlebih dahulu. Statika tuh ilmu
fisika yang mempelajari gaya yang bekerja pada sebuah benda yang diam (Benda berada dalam
kesetimbangan statis). Misalnya batu yang diam di atas permukaan tanah, mobil yang lagi parkir di jalan
atau garasi, kereta api yang lagi mangkal di stasiun, pesawat yang lagi baring‐baring di bandara dll.
Ketika sebuah benda diam, tidak berarti tidak ada gaya yang bekerja pada benda itu. Minimal ada gaya
gravitasi bumi yang bekerja pada benda tersebut (arah gaya gravitasi menuju pusat bumi alias ke
bawah). Jika ada gaya gravitasi, seharusnya benda bergerak dunk…. Kok bisa diam ya ? eyang Newton
dalam hukum II Newton mengatakan bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah benda
maka benda itu akan mengalami percepatan alias bergerak lurus. Ketika sebuah benda diam, gaya total
= 0. Pasti ada gaya lain yang mengimbangi gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Gaya apakah itu ? wah
gawat kalau dirimu sudah melupakannya… musuh bebuyutan gaya gravitasi adalah gaya normal. Untuk
memudahkan pemahamanmu, gurumuda pakai gambar saja ya…
Misalnya terdapat sebuah benda yang terletak di atas permukaan meja. Benda ini sedang diam. Pada
benda bekerja gaya berat (w) yang arahnya tegak lurus ke bawah alias menuju pusat bumi. Gaya berat
tuh gaya gravitasi yang bekerja pada benda. Gaya yang mengimbangi gaya gravitasi adalah gaya Normal
(N). Arah gaya normal tegak lurus ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Besar gaya normal =
besar gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Ingat ya, kedua gaya ini bukan aksi reaksi karena gaya
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
7
gravitasi dan gaya normal bekerja pada benda yang sama. Dua gaya disebut aksi reaksi jika bekerja pada
benda yang berbeda.
Benda dalam ilustrasi di atas dikatakan berada dalam keadaan keseimbangan statis. Pemahaman dan
perhitungan mengenai gaya‐gaya yang bekerja pada benda yang berada dalam keadaan seimbang
sangat penting, khususnya bagi para ahli perteknikan (arsitek dan insinyur). Dalam merancang sesuatu,
baik gedung, jembatan, kendaraan, dll, para arsitek dan insinyur juga memperhitungkan secara saksama,
apakah struktur suatu bangunan, kendaraan, dll, mampu menahan gaya‐gaya tersebut. Benda sekuat
apapun bisa mengalami perubahan bentuk (bengkok) atau bahkan bisa patah jika gaya yang bekerja
pada benda terlalu besar.
Syarat‐syarat keseimbangan
Sekarang mari kita melangkah lebih jauh. Kali ini kita mencoba melihat faktor‐faktor apa saja yang
membuat benda tetap dalam keadaan diam.
Syarat pertama
Dalam hukum II Newton, kita belajar bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah benda
(benda dianggap sebagai partikel tunggal), maka benda akan bergerak lurus, di mana arah gerakan
benda = arah gaya total. Kita bisa menyimpulkan bahwa untuk membuat sebuah benda diam, maka gaya
total harus = 0. Gaya total = Jumlah semua gaya yang bekerja pada benda.
Secara matematis bisa kita tulis seperti ini :
Persamaan Hukum II Newton :
Σ F = ma→a = 0
Ketika sebuah benda diam, benda tidak punya percepatan (a). Karena percepatan (a) = 0, maka
persamaan di atas berubah menjadi :
Σ F = 0
Kita bisa menguraikan persamaan ini ke dalam komponen sumbu x, sumbu y dan sumbu z
Σ Fx = 0→ Persamaan1
Σ Fy = 0→Persamaan2
Σ Fz = 0→ Persamaan3
Jika gaya‐gaya bekerja pada arah horisontal saja (satu dimensi), maka kita cukup menggunakan
persamaan 1. Huruf x menunjuk sumbu horisontal pada koordinat kartesius (koordinat x, y, z). Jika gayaSERI
EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
8
gaya bekerja pada arah vertikal saja (satu dimensi), maka kita cukup menggunakan persamaan 2. Huruf y
menunjuk sumbu vertikal pada koordinat kartesius.
Apabila gaya‐gaya bekerja pada bidang (dua dimensi), maka kita menggunakan persamaan 1 dan
persamaan 2. Sebaliknya jika gaya‐gaya bekerja dalam ruang (tiga dimensi), maka kita menggunakan
persamaan 1, 2 dan 3.
Ingat ya, gaya itu besaran vektor (besaran yang punya nilai dan arah). Dengan berpedoman pada
koordinat kartesius (x, y, z) dan sesuai dengan kesepakatan bersama, jika arah gaya menuju sumbu x
negatif (ke kiri) atau sumbu y negatif (ke bawah), maka gaya tersebut bernilai negatif. Kita cukup
menulis tanda negatif di depan angka yang menyatakan besar gaya.
Contoh :
Amati gambar di bawah
Keterangan gambar :
F = gaya tarik
Fg = gaya gesek
N = gaya normal
w = gaya berat
m = massa
g = percepatan gravitasi
Benda ini dikatakan berada dalam keadaan diam, karena jumlah semua gaya yang bekerja pada‐nya = 0.
Sekarang coba kita tinjau setiap gaya yang bekerja pada benda.
Gaya yang bekerja pada komponen horisontal (sumbu x) :
Σ Fx = 0
F − fg = 0
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
9
F = fg
Gaya tarik (F) dan gaya gesek (fg) mempunyai besar yang sama. Arah kedua gaya ini berlawanan. Arah
gaya tarik ke kanan atau menuju sumbu x positif (bernilai positif), sebaliknya arah gaya gesekan ke kiri
atau menuju sumbu x negatif (bernilai negatif). Karena besar kedua gaya sama (ditandai dengan panjang
panah) dan arahnya berlawanan, maka jumlah kedua gaya ini = 0.
Gaya yang bekerja pada komponen vertikal (sumbu y) :
Σ Fy = 0
N − w = 0
N −mg = 0
N = mg
Pada komponen vertikal (sumbu y), terdapat gaya berat (w) dan gaya normal (N). Arah gaya berat tegak
lurus menuju pusat bumi atau menuju sumbu y negatif (bernilai negatif), sedangkan arah gaya normal
berlawanan dengan arah gaya berat atau menuju sumbu y positif (bernilai positif) . Karena besar kedua
gaya ini sama sedangkan arahnya berlawanan maka kedua gaya saling melenyapkan.
Benda pada contoh di atas berada dalam keadaan seimbang alias diam, karena gaya total atau jumlah
semua gaya yang bekerja pada benda, baik pada sumbu horisontal maupun sumbu vertikal = 0.
Contoh 2 :
Amati gambar di bawah
Pada benda ini juga bekerja gaya berat dan gaya normal, seperti benda pada contoh 1. Tapi gurumuda
tidak menggambar komponen gaya berat dan gaya normal, karena kedua gaya itu saling melenyapkan.
Pada kedua sisi benda dikerjakan gaya seperti yang tampak pada gambar. Besar kedua gaya sama, tetapi
berlawanan arah. Apakah benda akan tetap dalam keadaaan seimbang alias diam ? tentu saja tidak...
benda akan berotasi.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
10
Untuk membantumu memahami hal ini, coba letakkan sebuah buku di atas meja. Selanjutnya, berikan
gaya pada kedua sisi buku itu, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Ketika kita memberikan gaya pada
kedua sisi buku, itu sama saja dengan kita memutar buku. Tentu saja buku akan berputar alias berotasi.
Dalam hal ini buku tidak berada dalam keadaan seimbang lagi.
Berdasarkan contoh 2 ini, bisa dikatakan bahwa untuk membuat sebuah benda tetap diam, syarat 1 saja
belum cukup. Kita masih membutuhkan syarat tambahan.
Catatan :
Pada contoh 2 di atas, sebenarnya pada benda itu dikerjakan torsi. Torsi = gaya (F) x lengan gaya (l).
Panjang lengan gaya (l) diukur dari sumbu rotasi benda tersebut. Dalam hal ini, yang membuat benda
berputar adalah torsi total. Jika kita menganggap tidak ada gaya gesekan pada benda di atas, maka torsi
total adalah jumlah torsi yang ditimbulkan oleh kedua gaya itu. Arah rotasi benda searah dengan
putaran jarum jam, sehingga kedua torsi bernilai negatif (tidak saling melenyapkan).
Syarat Kedua
Dalam dinamika rotasi, kita belajar bahwa jika terdapat torsi total yang bekerja pada sebuah benda
(benda dianggap sebagai benda tegar), maka benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian,
agar benda tidak berotasi (baca : tidak bergerak), maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semua
torsi yang bekerja pada benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :
Persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi :
Στ = Iα →α = 0
Ketika sebuah benda diam (tidak berotasi), benda tidak punya percepatan sudut (alfa). Karena
percepatan sudut = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi :
Στ = 0
Keterangan :
Σ(baca : sigma) = Jumlah
α (baca : alfa) = Percepa tan Sudut
τ = Torsi
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
11
Contoh 1 :
Amati gambar di bawah. Dua benda, masing‐masing bermassa m1 dan m2 diletakkan di atas papan
jungkat‐jungkit (m1 = m2). Lengan gaya untuk gaya berat m1 = l1, sedangkan lengan gaya untuk gaya
berat m2 = l2 (l1 = l2). Papan jungkat‐jungkit tidak bergerak alias berada dalam keadaan seimbang, karena
m1 = m2 dan l1 = l2. Arah rotasi itu sengaja gurumuda gambar, untuk menunjukkan kepada dirimu bahwa
jungkat‐jungkit juga bisa berotasi.
Gambar di atas disederhanakan sehingga yang kita tinjau hanya komponen gaya, lengan gaya dan torsi
yang bekerja pada benda.
Sekarang kita tinjau torsi yang bekerja pada papan jungkat‐jungkit di atas. Jika kita menganggap gaya F1
bisa menyebabkan papan jungkat jungkit bergerak ke bawah, maka arah putaran papan (sebelah kiri)
berlawanan dengan arah gerakan jarum jam. Karena arah putaran berlawanan dengan putaran jarum
jam, maka Torsi 1 (bagian kiri) bernilai positif.
Demikian juga, apabila kita menganggap gaya F2 bisa menyebabkan papan berputar maka arah putaran
papan (bagian kanan) searah dengan putaran jarum jam. Karena arah putaran papan searah dengan
gerakan jarum jam, maka torsi 2 bernilai negatif. Tanda positif dan negatif ini cuma kesepakatan saja...
Catatan :
Gaya yang diakibatkan oleh benda bermassa pada papan jungkat‐jungkit sebenarnya merupakan gaya
berat (w). Gurumuda menulis F saja biar dirimu bisa langsung nyambung dengan persamaan torsi.
Sekarang kita tinjau torsi yang bekerja pada bagian kiri :
τ = (F)(l sinθ )
( )( sin ) 1 1 1 τ = F l θ
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
12
Arah gaya tegak lurus dari sumbu rotasi, sehingga sudut yang dibentuk = 90o.
( )( sin 90 ) sin 90 1 1 1 1 τ = F l o → o =
( )( ) 1 1 1 τ = F l
Sekarang kita tinjau torsi yang bekerja pada bagian kanan :
( )( sin ) 2 2 2 −τ = F l θ
Arah gaya tegak lurus dari sumbu rotasi, sehingga sudut yang dibentuk = 90o.
( )( sin 90 ) sin 90 1 2 2 2 −τ = F l o → o =
( )( ) 2 2 2 −τ = F l
Torsi 1 dan torsi 2 sudah kita kupas tuntas. Kita oprek persamaan syarat kedua agar benda tetap dalam
keadaan seimbang :
Στ = 0
0 1 2 τ −τ =
0 1 1 2 F l − F l = l
1 1 2 F l F l l =
Selesai... ini cuma gambaran kasar. Dirimu bisa menggunakan contoh itu untuk mengoprek soal2 lainnya
yang berkaitan dengan syarat 2.....
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
13
Pusat Massa
Pusat massa ? apalagi ini… he2… sebelum gurumuda mengajakmu kenalan dan jalan‐jalan dengan pusat
massa, terlebih dahulu kita ulas beberapa hal yang berkaitan dengannya. Konsep pusat massa juga
berkaitan erat dengan titik berat alias pusat gravitasi yang akan kita pelajari nanti. Karenanya sebelum
belajar mengenai titik berat dkk, terlebih dahulu kita pahami konsep pusat massa. Met belajar ya,
semoga tiba dengan selamat di tempat tujuan.
Konsep Partikel
Dalam pokok bahasan gerak lurus (GLB, GLBB, Gerak jatuh bebas, Gerak Vertikal), gerak parabola dan
gerak melingkar, setiap benda kita anggap sebagai partikel; lebih tepatnya partikel tunggal. Penggunaan
istilah partikel ini hanya untuk mempermudah pembahasan mengenai gerakan, di mana suatu benda
digambarkan seperti suatu titik. Ketika sebuah benda bergerak, mobil misalnya, bagian depan, bagian
samping dan bagian belakang mobil itu mempunyai kecepatan yang sama. Apabila kita menganggap
mobil terdiri banyak titik yang tersebar di seluruh bagian mobil itu, maka ketika bergerak, setiap titik
yang tersebar di seluruh mobil itu punya kecepatan yang sama. Karenanya tidak ada salahnya jika kita
menganggap mobil seperti satu titik, karena gerakan satu titik bisa menggambarkan gerakan
keseluruhan mobil.
Perlu diketahui bahwa kita memperlakukan benda sebagai partikel tunggal hanya ketika benda‐benda
itu melakukan gerak translasi (gerak lurus, gerak parabola, gerak melingkar dkk). Jika suatu benda
melakukan gerak rotasi, benda tidak bisa kita anggap sebagai partikel karena kasusnya sudah berbeda.
Dalam gerak rotasi, benda dianggap sebagai benda tegar (benda terdiri dari banyak partikel, di mana
jarak antara setiap partikel yang menyusun benda itu selalu sama). Benda tidak bisa dianggap sebagai
partikel karena gerakan satu partikel tidak bisa mewakili keseluruhan gerakan benda. Dalam hal ini,
kecepatan setiap bagian benda yang melakukan gerak rotasi berbeda‐beda.
Pusat Massa
Dalam penjelasan sebelumnya, gurumuda mengatakan bahwa setiap benda dianggap sebagai partikel
apabila benda‐benda itu melakukan gerak translasi. Sebaliknya, benda‐benda yang melakukan gerak
rotasi dianggap sebagai benda tegar, bukan sebagai partikel. Walaupun demikian, ketika sebuah benda
berotasi atau melakukan gerak umum (mengenai gerak umum akan dijelaskan kemudian. Tuh di
bawah), terdapat satu bagian pada benda itu (bisa kita sebut sebagai partikel atau titik) yang bergerak
seperti sebuah partikel tunggal dalam gerak translasi. Titik ini dikenal dengan julukan pusat massa.
Untuk memudahkan pemahamanmu, gurumuda menggunakan contoh…
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
14
Contoh Gerak Umum 1 :
Ini merupakan salah satu contoh gerak umum. Gerak umum itu suatu jenis gerakan di mana benda tidak
melakukan gerak translasi murni. Dengan kata lain, tidak semua bagian benda bergerak melalui lintasan
yang sama. Perhatikan gambar gerakan tongkat di bawah. Tongkat melakukan gerak rotasi sepanjang
arah horisontal (ke kanan). Ketika berotasi, posisi tongkat selalu berubah‐ubah. Walaupun demikian,
terdapat satu bagian tongkat yang bergerak sepanjang lintasan lurus yang diberi garis putus‐putus.
Bagian tongkat itu gurumuda tandai dengan titik hitam. Bagian tongkat yang diberi tanda titik hitam itu
adalah pusat massa tongkat.
Contoh Gerak Umum 2 :
Tongkat dilempar ke atas dan gerakannya hanya dipengaruhi oleh gravitasi. Walaupun posisi tongkat
berubah‐ubah (gerakan tongkat kacau balau :D ), terdapat satu bagian tongkat (titik hitam pada tongkat)
yang bergerak menempuh lintasan yang sama. Bagian tongkat yang diberi titik hitam itu adalah pusat
massa tongkat. Pusat massa tongkat melakukan gerak translasi. Dalam hal ini lintasan pusat massa
tongkat berbentuk parabola, mirip seperti lintasan benda (benda dianggap sebagai partikel tunggal)
yang melakukan gerak parabola (ingat pokok bahasan gerak parabola)
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
15
Contoh Gerak Menggelinding :
Amati gambar di bawah ya… Ini merupakan gambar sebuah benda (gak tahu namanya apa :D ), sedang
menggelinding (ke kanan). Sepanjang gerakannya, benda tidak tergelincir alias tidak selip. Perhatikan
titik A dan B. Ketika benda menggelinding ke kanan, posisi titik A selalu berubah, sedangkan titik B tetap.
Titik B merupakan pusat massa benda. Arah lintasannya berupa garis putus‐putus. Dalam hal ini titik B
(pusat massa) melakukan gerak lurus, sedangkan titik A melakukan gerak rotasi.
Contoh Gerak Lurus :
Ini merupakan contoh sebuah benda yang melakukan gerak lurus. Titik hitam itu mewakili pusat massa
benda. Jika bentuk benda beraturan, seperti gambar di bawah, pusat massa‐nya terletak tepat di tengah
benda itu.
Seperti yang kita lihat pada gambar, ketika benda melakukan gerak lurus, pusat massa benda juga
melakukan gerak lurus. Lintasannya ditandai dengan garis putus‐putus. Jadi tidak ada salahnya jika
setiap benda yang melakukan gerak translasi dianggap sebagai partikel alias titik. Partikel alias titik itu
bisa menggambarkan pusat massa benda. Dengan kata lain, ketika kita mengandaikan setiap benda
seperti partikel, kita menganggap massa benda seolah‐olah terkonsentrasi pada pusat massa‐nya.
Karenanya analisis kita hanya terbatas pada titik dimana pusat massa benda berada.
Menentukan Posisi Pusat Massa
Pada pembahasan sebelumnya, gurumuda sudah mengantarmu berjalan‐jalan bersama pusat massa,
kali ini kita mencoba mengoprek persamaan yang akan digunakan untuk menentukan posisi pusat massa
benda. Ingat ya, pembahasan mengenai pusat massa gurumuda selipkan di topik keseimbangan benda
tegar. Dengan demikian, setiap benda yang kita analisis dianggap sebagai benda tegar. Penjelasan
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
16
panjang lebar mengenai partikel dkk di atas hanya mau mengantarmu untuk memahami konsep pusat
massa benda, sekaligus kita mencoba melihat kembali hubungan antara pusat massa dengan konsep
partikel yang kita pakai dalam menggambarkan benda yang melakukan gerakan translasi.
Bentuk benda dalam kehidupan kita beraneka ragam. Ada benda yang bentuknya beraturan, ada juga
benda yang bentuknya tidak beraturan. Untuk menentukan posisi pusat massa sebuah benda, mau tidak
mau kita harus menggunakan persamaan, tidak bisa pake tebak menebak…
Setiap benda tegar bisa dianggap tersusun dari banyak partikel, di mana jarak antara setiap partikel
selalu sama. Walaupun demikian, untuk membantu kita menurunkan persamaan pusat massa, kita
membuat penyederhanaan, dengan menganggap benda tegar hanya terdiri dari dua partikel. Kita bisa
menyebut kedua partikel ini sebagai sistem benda tegar. Untuk lebih mempermudah lagi, kita
menggunakan bantuan sistem koordinat. Harap dimaklumi.. fisika itu banyak keanehannya :D Amati
gambar di bawah.
m1 = massa partikel 1, m2 = massa partikel 2. Kedua partikel berada pada sumbu x. Partikel 1 berjarak x1
dari sumbu y dan partikel 2 berjarak x2 dari sumbu y. Pusat massa bisa kita singkat PM. Karena kedua
partikel terletak pada sumbu x, maka pusat massa untuk kedua partikel itu bisa ditulis xPM. Sekarang
mari kita oprek persamaan pusat massa :
1 2
1 1 2 2
m m
m x m x
xPM
+
+
=
M
m x m x
xPM 1 1 2 2 +
=
M = m1 + m2 = Massa total kedua partikel. Pusat massa terletak di antara kedua partikel itu.
Jika m1 = m2 = m, maka pusat massa tepat berada di tengah‐tengah kedua partikel. Secara matematis,
persamaannya bisa dioprek seperti ini :
m1 = m2 = m
m m
m x m x
xPM
+
+
= 1 1 2 2
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
17
m
m x x
xPM
2
( ) 1 2 +
=
( )
2
1
1 2 xPM = x + x
Jika m1 > m2 maka letak pusat massa lebih dekat dengan m1. Sebaliknya jika m2 > m1 maka letak pusat
massa lebih dekat dengan m2. Persamaan di atas hanya berlaku untuk satu dimensi, di mana benda
hanya berada pada salah satu sumbu koordinat (sumbu x)
Apabila kedua partikel tersebar dalam 2 dimensi, maka kita bisa mengoprek persamaan pusat massa
untuk koordinat y
Persamaan untuk koordinat y
1 2
1 1 2 2
m m
m y m y
yPM
+
+
=
M
m y m y
yPM 1 1 2 2 +
=
M = m1 + m2 = Massa total kedua partikel
Penurunan persamaan di atas baru terbatas pada 2 partikel. Jika terdapat banyak partikel, maka kita
bisa memperluas persamaannya...
Persamaan untuk koordinat x :
n
n n
m m m
m x m x m x
xPM
+ + +
+ + +
=
...
....
1 2
1 1 2 2
m M MassaTotal
m
m x
xPM i
i
i i →Σ = =
Σ
Σ
=
M
m x
xPM i i Σ
=
Persamaan untuk koordinat y :
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
18
n
n n
m m m
m y m y m y
yPM
+ + +
+ + +
=
...
....
1 2
1 1 2 2
i
i i
m
m y
yPM
Σ
Σ
=
M
m y
yPM i i Σ
=
Persamaan untuk koordinat z :
n
n n
m m m
m z m z m z
zPM
+ + +
+ + +
=
...
....
1 2
1 1 2 2
i
i i
m
m z
zPM
Σ
Σ
=
M
m z
zPM i i Σ
=
Jika partikel2 terletak sebidang (dua dimensi), maka pusat massanya berada di antara xPM dan yPM.
Sebaliknya, jika partikel2 terletak dalam ruang (tiga dimensi), maka pusat massanya berada di antara
xPM, yPM dan zPM.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
19
Titik Berat alias Pusat Gravitasi
Sebelumnya kita sudah mempelajari konsep pusat massa dan mengoprek persamaan untuk menentukan
pusat massa. Kali ini kita akan berkenalan dan jalan‐jalan bersama titik berat alias pusat gravitasi.
Konsep titik berat ini hampir sama dengan pusat massa. Karenanya gurumuda sengaja mengulas pusat
massa terlebih dahulu, sebelum membahas titik berat. Sebelum mempelajari titik berat, terlebih dahulu
kita pahami kembali konsep benda tegar dan gaya gravitasi yang bekerja pada benda itu. setelah itu
baru kita oprek titik berat… Met belajar ya….
Konsep Benda Tegar
Sebelum melangkah lebih jauh, terlebih dahulu gurumuda bahas kembali konsep benda tegar.
Tujuannya biar dirimu lebih nyambung dengan penjelasan mengenai titik berat.
Dalam ilmu fisika, setiap benda bisa kita anggap sebagai benda tegar (benda kaku). Benda tegar itu cuma
bentuk ideal yang membantu kita menggambarkan sebuah benda. Bagaimanapun setiap benda dalam
kehidupan kita bisa berubah bentuk (tidak selalu tegar/kaku), jika pada benda tersebut dikenai gaya
yang besar. Setiap benda tegar dianggap terdiri dari banyak partikel alias titik. Partikel2 itu tersebar di
seluruh bagian benda. Jarak antara setiap partikel yang tersebar di seluruh bagian benda selalu sama.
Untuk membantumu lebih memahami konsep benda tegar, gurumuda menggunakan ilustrasi saja.
Amati gambar di bawah ya…..
Ini gambar sebuah benda (cuma contoh). Benda ini bisa kita anggap tersusun dari banyak partikel. Pada
gambar, partikel2 ditandai dengan titik hitam. Seharusnya semua bagian benda itu dipenuhi dengan titik
hitam, tapi nanti malah gambarnya jadi hitam semua. Maksud gurumuda adalah menunjukkan partikel2
alias titik2.
Titik Berat
Salah satu gaya yang bekerja pada setiap benda yang terletak di permukaan bumi adalah gaya gravitasi.
Gaya gravitasi yang bekerja pada suatu benda di sebut gaya berat (w). Untuk benda yang berukuran
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
20
besar, gaya gravitasi yang bekerja pada benda tersebut sebenarnya bukan cuma satu. Sebagaimana yang
telah gurumuda jelaskan di atas, setiap benda bisa kita anggap terdiri dari banyak partikel. Gaya gravitasi
sebenarnya bekerja pada tiap‐tiap partikel yang menyusun benda itu. Perhatikan gambar di bawah ya….
Benda ini kita anggap terdiri dari partikel‐partikel. Partikel2 itu diwakili oleh titik hitam. Tanda panah
yang berwarna biru menunjukkan arah gaya gravitasi yang bekerja pada tiap2 partikel. Seandainya
benda kita bagi menjadi potongan2 yang sangat kecil, maka satu potongan kecil itu = satu partikel.
Jumlah partikel sangat banyak dan masing‐masing partikel itu juga punya massa. Secara matematis bisa
ditulis sebagai berikut :
m1 = partikel 1, m2 = partikel 2, m3 = partikel 3, m4 = partikel 4, m5 = partikel 5, ……, mn = partikel
terakhir. Jumlah partikel sangat banyak, lagian kita juga tidak tahu secara pasti ada berapa jumlah
partikel. Untuk mempermudah, maka kita cukup menulis titik2 (….) dan n. Simbol n melambangkan
partikel yang terakhir.
Gaya gravitasi bekerja pada masing‐masing partikel itu. Secara matematis bisa kita tulis sebagai berikut :
Gaya gravitasi yang bekerja pada partikel = gaya berat partikel
m1g = w1 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 1
m2g = w2 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 2
m3g = w3 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 3
m4g = w4 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 4
m5g = w5 = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel 5
Dan seterusnya………………….
Mng = wn = gaya gravitasi yang bekerja pada partikel terakhir
Apabila benda berada pada tempat di mana nilai percepatan gravitasi (g) sama, maka gaya berat untuk
setiap partikel bernilai sama. Arah gaya berat setiap partikel juga sejajar menuju ke permukaan bumi.
Untuk mudahnya bandingkan dengan gambar di atas. Untuk kasus seperti ini, kita bisa menggantikan
gaya berat pada masing‐masing partikel dengan sebuah gaya berat tunggal (w = mg) yang bekerja pada
titik di mana pusat massa benda berada. Jadi gaya berat ini mewakili semua gaya berat partikel. Titik di
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
21
mana gaya berat bekerja (dalam hal ini pusat massa benda), di sebut titik berat. Nama lain dari titik
berat adalah pusat gravitasi. Titik berat disebut juga sebagai pusat gravitasi karena gaya berat
merupakan gaya gravitasi yang bekerja pada benda.
Keterangan :
w = gaya berat = gaya gravitasi yang bekerja pada benda
m = massa benda
g = percepatan gravitasi
Bentuk benda simetris, sehingga pusat massa dengan mudah ditentukan. Pusat massa untuk benda di
atas tepat berada di tengah‐tengah. Jika bentuk benda tidak simetris atau tidak beraturan, maka pusat
massa benda bisa ditentukan menggunakan persamaan (persamaan untuk menentukan pusat massa
benda ada di pokok bahasan pusat massa).
Jika benda berada pada tempat yang memiliki nilai percepatan gravitasi (g) yang sama, maka gaya
gravitasi bisa dianggap bekerja pada pusat massa benda itu. Untuk kasus seperti ini, titik berat benda
berada pada pusat massa benda.
Perlu diketahui bahwa penentuan titik berat benda juga perlu memperhatikan syarat‐syarat
keseimbangan. Untuk kasus di atas, titik berat benda harus terletak pada pusat massa benda, agar
syarat 1 dan syarat 2 terpenuhi. Syarat 1 mengatakan bahwa sebuah benda berada dalam keseimbangan
statis jika jumlah semua gaya yang bekerja pada benda = 0.
Syarat 2 mengatakan bahwa sebuah benda berada dalam keseimbangan statis jika tumlah semua torsi
yang bekerja pada benda = 0. Ketika titik berat berada pada pusat massa, lengan gaya = 0. Karena lengan
gaya nol, maka tidak ada torsi yang dihasilkan oleh gaya berat (Torsi = gaya x lengan gaya = gaya berat x
0 = 0 ). Syarat 2 terpenuhi.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
22
Titik berat benda untuk tempat yang memiliki percepatan gravitasi (g) yang berbeda
Pada pembahasan sebelumnya, kita menganggap titik berat benda terletak pada pusat massa benda
tersebut. Hal ini hanya berlaku jika benda berada di tempat yang memiliki percepatan gravitasi (g) yang
sama. Benda yang berukuran kecil bisa memenuhi kondisi ini, tetapi benda yang berukuran besar tidak.
Demikian juga benda yang diletakkan miring (lihat contoh di bawah).
Bagaimanapun, percepatan gravitasi (g) ditentukan oleh jarak dari pusat bumi. Bagian benda yang lebih
dekat dengan permukaan tanah (maksudnya lebih dekat dengan pusat bumi), memiliki g yang lebih
besar dibandingkan dengan benda yang jaraknya lebih jauh dari pusat bumi. Untuk memahami hal ini,
amati ilustrasi di bawah.…
Sebuah balok kayu diletakkan miring. Kita bisa menganggap balok kayu tersusun dari potonganpotongan
yang sangat kecil. Potongan2 balok yang sangat kecil ini bisa disebut sebagai partikel alias titik.
Massa setiap partikel penyusun balok sama. Bentuk balok simetris sehingga kita bisa menentukan pusat
massanya dengan mudah. Pusat massa terletak di tengah‐tengah balok (lihat gambar di atas).
Karena semakin dekat dengan pusat bumi, semakin besar percepatan gravitasi, maka partikel penyusun
balok yang berada lebih dekat dengan permukaan tanah memiliki g yang lebih besar. Sebaliknya, partikel
yang berada lebih jauh dari permukaan tanah memiliki g lebih kecil. Pada gambar di atas, partikel 1 yang
bermassa m1 memiliki g lebih besar, sedangkan partikel terakhir yang bermassa mn memiliki g yang lebih
kecil. Huruf n merupakan simbol partikel terakhir. Jumlah partikel sangat banyak dan kita juga tidak tahu
secara pasti berapa jumlah partikel, sehingga cukup disimbolkan dengan huruf n. Lebih praktis…
Karena partikel yang bermassa m1 memiliki g lebih besar, maka gaya berat yang bekerja padanya lebih
besar dibandingkan dengan partikel terakhir. Jika kita amati bagian balok, dari m1, hingga mn, tampak
bahwa semakin ke atas, jarak bagian balok2 itu dari permukaan tanah semakin jauh. Tentu saja hal ini
mempengaruhi nilai g pada masing‐masing partikel penyusun balok tersebut. karena massa partikel
sama, maka yang menentukan besar gaya berat adalah percepatan gravitasi (g). semakin ke atas, gaya
berat (w) setiap partikel semakin kecil.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
23
Bagaimana‐kah titik berat balok di atas ? Titik berat alias pusat gravitasi balok tidak tepat berada pada
pusat massanya. Titik berat berada di bawah pusat massa balok. Hal ini disebabkan karena gaya berat
partikel2 yang berada di bawah balok (partikel2 yang lebih dekat dengan permukaan tanah) lebih besar
daripada gaya berat partikel2 yang ada di sebelah atas pusat massa (partikel2 yang lebih jauh dari
permukaan tanah)..
Btw, hampir semua benda yang kita pelajari berukuran kecil sehingga kita tetap menganggap titik berat
benda berhimpit dengan pusat massa. Memang jarak antara setiap partikel dari pusat bumi (dari
permukaan tanah), berbeda‐beda. Tapi karena perbedaan jarak itu sangat kecil, maka perbedaan
percepatan gravitasi (g) untuk setiap partikel tidak terlalu besar. Karenanya, perbedaan percepatan
gravitasi bisa diabaikan. Kita tetap menganggap setiap bagian benda memiliki percepatan gravitasi yang
sama.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
24
Jenis‐jenis keseimbangan
Dirimu pernah naik kapal laut‐kah ? wah, sayang kalau belum…. Biasanya kalau gelombang laut cukup
tinggi sehingga kapal berdisco ria dan nyaris tenggelam, kapten kapal menyuruh semua penumpang
untuk turun ke dek/tingkat paling bawah. Bila perlu tidur di antara mesin ;) Katanya sich biar kapal tidak
tenggelam... itu katanya. Kalau lagi liburan n mau pulang kampung, gurumuda juga biasa naik kapal laut.
Lebih asyik, bisa cuci mata…. Dek bawah harus terisi semua, tidak boleh sepih penumpang. Alasannya,
seandainya ada gelombang dasyat di tengah laut, kapal tidak terjun bebas ke dasar laut. Btw, mengapa
harus demikian‐kah ? met belajar ya, jawabannya ada di bagian paling bawah…
Seperti yang sudah gurumuda jelaskan pada pokok bahasan syarat‐syarat keseimbangan statis, sebuah
benda berada dalam keadaan diam jika tidak ada gaya total dan torsi total yang bekerja pada benda
tersebut. Dengan kata lain, jika gaya total dan torsi total = 0, maka benda berada dalam keseimbangan
statis (statis = diam). Btw, tidak semua benda yang kita jumpai dalam kehidupan sehari‐hari selalu
berada dalam keadaan diam. Mungkin pada mulanya benda diam, tetapi jika diberi gangguan (misalnya
ditiup angin) benda bisa saja bergerak. Persoalannya, apakah setelah jalan‐jalan, benda itu kembali lagi
ke posisinya semula atau benda sudah bosan di posisi semula sehingga malas balik. Hal ini sangat
bergantung pada jenis keseimbangan benda tersebut. Masalah ini yang akan kita kupas tuntas pada
kesempatan ini. Daripada kelamaan dan jadi basi, mending kita langsung menuju sasaran saja….
Jika sebuah benda yang sedang diam mengalami gangguan (maksudnya terdapat gaya total atau torsi
total yang bekerja pada benda tersebut), tentu saja benda akan bergerak (berpindah tempat). Setelah
bergerak, akan ada tiga kemungkinan, yakni : (1) benda akan kembali ke posisinya semula, (2) benda
berpindah lebih jauh lagi dari posisinya semula, (3) benda tetap berada pada posisinya yang baru.
Apabila setelah bergerak benda kembali ke posisinya semula, benda tersebut dikatakan berada dalam
keseimbangan stabil (kemungkinan 1). Apabila setelah bergerak benda bergerak lebih jauh lagi, maka
benda dikatakan berada dalam keseimbangan labil alias tidak stabil (kemungkinan 2) Sebaliknya, jika
setelah bergerak, benda tetap berada pada posisinya yang baru, benda dikatakan berada dalam
keseimbangan netral (kemungkinan 3) Untuk lebih memahami persoalan ini, alangkah baiknya jika
gurumuda jelaskan satu persatu…
Keseimbangan Stabil
Misalnya mula‐mula benda diam, dalam hal ini tidak ada gaya total atau torsi total yang bekerja pada
benda tersebut. Jika pada benda dikerjakan gaya atau torsi (terdapat gaya total atau torsi total pada
benda itu), benda akan bergerak. Benda dikatakan berada dalam keseimbangan stabil, jika setelah
bergerak, benda kembali lagi ke posisi semula. Dalam hal ini, yang menyebabkan benda bergerak
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
25
kembali ke posisi semula adalah gaya total atau torsi total yang muncul setelah benda bergerak. Untuk
memudahkan pemahamanmu, cermati contoh di bawah…..
Contoh 1 :
Amati gambar di bawah. Sebuah bola berwarna biru digantung dengan seutas tali. Mula‐mula benda
berada dalam keseimbangan statis/benda diam (gambar 1). Setelah didorong, benda bergerak ke kanan
(gambar 2). Sekuat apapun kita mendorong atau menarik bola, bola akan kembali lagi ke posisi semula
setelah puas bergerak.
Sebagaimana tampak pada gambar, titik berat bola berada di bawah titik tumpuh. Untuk kasus seperti
ini, bola atau benda apapun yang digantung selalu berada dalam keseimbangan stabil.
Amati gambar 2. Bola bergerak kembali ke posisi seimbang akibat adanya gaya total yang bekerja pada
bola (w sin teta). Gaya tegangan tali (T) dan komponen gaya berat yang sejajar dengan tali (w cos teta)
saling melenyapkan, karena kedua gaya ini memiliki besar yang sama tapi arahnya berlawanan.
Contoh 2 :
Sebuah bola berada dalam sebuah mangkuk ;) besar. Mula‐mula bola berada dalam keadaan diam
(gambar 1). Setelah digerakkan, bola berguling ria ke kanan (gambar 2).
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
26
Perhatikan diagram gaya yang bekerja pada bola (gambar 2). Komponen gaya berat yang tegak lurus
permukaan mangkuk (w cos teta) dan gaya normal (N) saling melenyapkan, karena besar kedua gaya ini
sama dan arahnya berlawanan. Bola bergerak kembali ke posisinya semula akibat adanya komponen
gaya berat yang sejajar dengan permukaan mangkuk (w sin teta). w sin teta merupakan gaya total yang
berperan menggulingkan bola kembali ke posisi seimbang.
Contoh ini juga menunjukkan bahwa bola berada dalam keseimbangan stabil, karena setelah bergerak,
bola kembali lagi ke posisinya semula.
Contoh 3 :
Mula‐mula benda berada dalam keseimbangan statis / benda diam (gambar 1). Seperti yang tampak
pada gambar 1, jumlah gaya total yang bekerja pada benda = 0. Pada benda hanya bekerja gaya berat
(w) dan gaya normal (N), di mana besar gaya normal = besar gaya berat. Karena arahnya berlawanan,
maka kedua gaya ini saling melenyapkan.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
27
Gambar 2 menunjukkan posisi benda setelah di dorong. Perhatikan posisi titik berat dan titik tumpuh.
Jika posisi titik berat masih berada di sebelah kiri titik tumpuh, maka benda masih bisa kembali ke posisi
semula. Benda bisa bergerak kembali ke posisi semula akibat adanya torsi total yang dihasilkan oleh
gaya berat. Dalam hal ini, titik tumpuh berperan sebagai sumbu rotasi.
Bagaimana kalau benda terangkat ke kiri seperti yang ditunjukkan gambar 3 ? Kasusnya mirip seperti
ketika benda terangkat ke kanan (gambar 2). Perhatikan posisi titik berat dan titik tumpuh. Benda masih
bisa kembali ke posisi semula karena titik berat berada di sebelah kanan titik tumpuh. Torsi total yang
dihasilkan oleh gaya berat menggerakkan benda kembali ke posisi semula (Titik tumpuh berperan
sebagai sumbu rotasi)
Untuk kasus seperti ini, biasanya benda tetap berada dalam keseimbangan stabil kalau setelah bergerak,
titik berat benda tidak melewati titik tumpuh. Minimal titik berat tepat berada di atas titik tumpuh.
Untuk memahami hal ini, amati gambar di bawah…
Misalnya mula‐mula benda diam. Benda akan kembali ke posisi semula jika setelah didorong, posisi
benda condong ke kanan seperti ditunjukkan gambar 1 atau gambar 2. Dalam hal ini, titik berat benda
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
28
masih berada di sebelah kiri titik tumpuh atau titik berat tepat berada di atas titik tumpuh. Untuk kasus
seperti ini, benda masih berada dalam keseimbangan stabil.
Sebaliknya, apabila setelah didorong dan bergerak, titik berat benda berada di sebelah kanan titik
tumpuh, maka benda tidak akan kembali ke posisi semula lagi, tetapi terus berguling ria ke kanan/benda
terus bergerak menjahui posisi semula (gambar 3). Untuk kasus seperti ini, benda tidak berada dalam
keseimbangan stabil lagi.
Perhatikan gambar di bawah. Persoalannya mirip dengan contoh sebelumnya, bedanya benda bergerak
ke kiri. Benda berada dalam keseimbangan stabil (benda masih bisa bergerak kembali ke posisi
seimbang), jika setelah bergerak, titik berat benda berada di sebelah kanan titik tumpuh (gambar 1) atau
titik berat benda tepat berada di atas titik tumpuh (gambar 2). Sebaliknya, jika setelah didorong dan
bergerak, titik berat berada di sebelah kiri titik tumpuh, maka benda tidak akan kembali ke posisi
semula, tapi terus berguling ria ke kiri. Jika kasusnya seperti ini, benda tidak berada dalam
keseimbangan stabil. Benda berada dalam keseimbangan labil/tidak stabil.
Pada umum, jika titik berat benda berada di bawah titik tumpuh, maka benda selalu berada dalam
keseimbangan stabil. Sebaliknya, apabila titik berat benda berada di atas titik tumpuh, keseimbangan
benda menjadi relatif. Benda bisa berada dalam keseimbangan stabil, benda juga bisa berada dalam
keseimbangan labil. Batas maksimum keseimbangan stabil (benda masih bisa bergerak kembali ke posisi
semula) adalah ketika titik berat tepat berada di atas titik tumpuh. Hal ini disebabkan karena gaya
normal yang mengimbangi gaya gravitasi masih berada dalam daerah kontak, sehingga torsi yang
dikerjakan gaya berat bisa mendorong benda kembali ke posisi semula. Kalau titik berat sudah melewati
titik tumpuh, maka torsi yang dikerjakan oleh gaya berat akan membuat benda bergerak lebih jauh lagi.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
29
Keseimbangan Labil alias tidak stabil
Sebuah benda dikatakan berada dalam keseimbangan labil alias tidak stabil apabila setelah bergerak,
benda bergerak lebih jauh lagi dari posisinya semula. Biar lebih paham, perhatikan contoh di bawah….
Contoh 1 :
Sebuah balok mula‐mula diam (gambar 1). Setelah ditabrak tikus ;) , balok tersebut bergerak alias mau
tumbang ke tanah (gambar 2). Amati posisi titik berat dan titik tumpuh… Posisi titik berat berada di
sebelah kanan titik tumpuh. Adanya torsi total yang dihasilkan oleh gaya berat (w) membuat balok
bergerak semakin jauh dari posisinya semula (gambar 3). Titik tumpuh berperan sebagai sumbu rotasi…
Contoh 2 :
Sebuah bola, mula‐mula sedang diam di atas pantat wajan yang dibalik (gambar 1). Setelah ditiup angin,
bola bergerak ke kanan (gambar 2). Amati gaya‐gaya yang bekerja pada bola tersebut. Komponen gaya
berat yang tegak lurus permukaan wajan (w cos teta) dan gaya normal (N) saling melenyapkan karena
kedua gaya ini mempunyai besar yang sama tapi arahnya berlawanan. Btw, pada bola bekerja juga
komponen gaya berat yang sejajar permukaan wajan (w sin teta). w sin teta merupakan gaya total yang
menyebabkan bola terus berguling ria ke bawah menjahui posisinya semula.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
30
Keseimbangan Netral
Sebuah benda dikatakan berada dalam keseimbangan netral jika setelah digerakkan, benda tersebut
tetap diam di posisinya yang baru (benda tidak bergerak kembali ke posisi semula; benda juga tidak
bergerak menjahui posisi semula).
Contoh 1 :
Amati gambar di bawah… Bola berada di atas permukaan horisontal (bidang datar). Jika bola didorong,
bola akan bergerak. Setelah bergerak, bola tetap diam di posisinya yang baru. Dengan kata lain, bola
sudah malas balik ke posisinya semula; bola juga malas bergerak lebih jauh lagi dari posisinya semula.
Contoh 2 :
Ini gambar sebuah silinder (drum raksasa yang dicat biru ;) ). Silinder berada di atas permukaan bidang
datar. Kasusnya sama seperti bola di atas. Jika didorong, silinder akan berguling ria. setelah tiba di
posisinya yang baru, silinder tetap diam di situ. Si silinder dah malas jalan‐jalan…. Pingin bobo, katanya :)
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
31
Agar dirimu semakin paham, silahkan melakukan percobaan kecil2an… gunakan benda yang bentuknya
mirip dengan benda2 di atas.
Berdasarkan penjelasan panjang lebar di atas, ada beberapa hal yang dapat gurumuda simpulkan.
Pertama, jika titik berat benda berada di bawah titik tumpuh, maka benda selalu berada dalam
keseimbangan stabil (benda masih bisa bergerak kembali ke posisi semula setelah puas jalan‐jalan).
Contohnya adalah ketika sebuah benda digantung dengan tali. Untuk kasus seperti ini, titik berat benda
selalu berada di bawah titik tumpuh (titik tumpuh berada di antara tali dan tiang penyanggah).
Kedua, jika titik berat benda berada di atas titik tumpuh, keseimbangan bersifat relatif. Benda bisa
berada dalam keseimbangan stabil, benda juga bisa berada dalam keseimbangan labil/tidak stabil.
Perhatikan gambar di bawah….. Apabila setelah didorong, posisi benda seperti yang ditunjukkan pada
gambar 1, benda masih bisa kembali ke posisi semula (benda berada dalam keseimbangan stabil).
Sebaliknya, apabila setelah didorong, posisi benda seperti yang ditunjukkan gambar 2, benda tidak bisa
kembali ke posisi semula. Benda akan terus berguling ria ke kanan (benda berada dalam keseimbangan
tidak stabil/labil)
Ketiga, keseimbangan benda sangat bergantung pada bentuk/ukuran benda. Benda yang kurus dan
langsing berada dalam keseimbangan tidak stabil jika posisi berdiri benda tersebut tampak seperti yang
ditunjukkan gambar 1. Alas yang menopang benda tidak lebar. Ketika disentuh sedikit saja, benda
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
32
langsung tumbang. Perhatikan posisi tiik berat dan titik tumpuh. Sebaliknya, benda yang gemuk lebih
stabil (lihat gambar 2). Alas yang menopang benda lumayan lebar. Setelah bergerak, titik beratnya masih
berada di sebelah kiri titik tumpuh, sehingga benda masih bisa kembali ke posisi semula.
Keempat, keseimbangan benda tergantung pada jarak titik berat dari titik tumpuh. Jika posisi berdiri
benda seperti pada gambar 1, benda berada dalam keseimbangan tidak stabil. Angin niup dikit aja,
benda langsung berguling ria… bandingkan dengan contoh benda kurus sebelumnya.
Sebaliknya, jika posisi benda tampak seperti pada gambar 2, benda berada dalam keseimbangan stabil.
Kata si benda, daripada berdiri mending bobo saja… biar kalau ada tikus yang nabrak, diriku tidak
ikut2an tumbang… Sekarang perhatikan jarak antara titik berat dan titik tumpuh. Ketika benda berdiri
(gambar 1), jarak titik berat dan titik tumpuh lumayan besar. Ketika benda bobo (gambar 2), jarak antara
titik berat dan titik tumpuh sangat kecil.
Kita bisa menyimpulkan bahwa keseimbangan benda sangat bergantung pada jarak titik berat dari titik
tumpuh. Semakin jauh si titik berat dari si titik tumpuh (gambar 1), keseimbangan benda semakin tidak
stabil. Sebaliknya, semakin dekat si titik berat dari si titik tumpuh (gambar 2), keseimbangan benda
semakin stabil.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
33
Jawaban pertanyaannya mana ? oh, pertanyaan di awal tulisan ini‐kah ? Konsep2nya khan sudah
gurumuda jelaskan secara panjang lebar…. Sekarang, dirimu bisa memikirkan jawabannya sendiri ya….
guampang kok…. Masukan jawaban melalui kolom komentar. Gurumuda akan memberikan berjuta2
pujian kepadamu, kalau jawabannya benar….
Oya, pertanyaan tambahan… Kalau ayam, tikus dan manusia sama‐sama berdiri, manakah yang
mempunyai keseimbangan yang lebih stabil ?
Penyelesaian masalah keseimbangan benda tegar
Jangan dihafal…. Tidak akan ada soal yang sama. Pahami saja jalan ceritanya…
Contoh soal 1 :
Sebuah benda bermassa 10 kg digantungkan pada seutas tali (lihat gambar di bawah). Tentukan
tegangan tali…. (g = 10 m/s2)
Panduan Jawaban :
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
34
Langkah 2 : menumbangkan soal
Perhatikan diagram gaya di atas :
Pada benda hanya bekerja gaya berat (w) dan gaya tegangan tali (T) pada arah vertikal. Sesuai dengan
kesepakatan bersama, gaya bernilai positif jika arahnya menuju sumbu y positif, sedangkan gaya bernilai
negatif jika arahnya menuju sumbu y negatif.
Syarat sebuah benda berada dalam keadaan seimbang (untuk arah vertikal / sumbu y) :
Σ Fy = 0
T − w = 0
T − mg = 0
T = mg
T = (10kg)(10m/ s 2 )
T =100kgm/ s 2 =100N
Gaya tegangan tali = 100 N. Guampang sekali…. Next level
Contoh soal 2 :
Dua benda, sebut saja benda A (10 kg) dan benda B (20 kg), diletakkan di atas papan kayu (lihat gambar
di bawah). Panjang papan = 10 meter. Jika benda B diletakkan 2 meter dari titik tumpuh, pada jarak
berapakah dari titik tumpuh benda A harus diletakkan, sehingga papan berada dalam keadaan seimbang
? (g = 10 m/s2)
Panduan Jawaban :
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
35
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
Langkah 2 : menumbangkan soal
Perhatikan diagram di atas. Gaya yang bekerja pada papan adalah gaya berat benda B (FB), gaya berat
benda A (FA), gaya berat papan (w papan) dan gaya normal (N). Titik hitam (sebelah atasnya w papan),
merupakan titik tumpuh. Titik tumpuh berperan sebagai sumbu rotasi…..
Gaya berat papan (w papan) dan gaya normal (N) berhimpit dengan titik tumpuh / sumbu rotasi
sehingga lengan gaya‐nya nol. w papan dan N tidak dimasukkan dalam perhitungan…
Torsi 1 = Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat benda B (torsi bernilai positif)
B B = F l 1 τ
( )(2 ) 1 τ = mg m
((20 )(10 / 2 )(2 )
1 τ = kg m s m
(200 / 2 )(2 )
1 τ = kgm s m
2 2
1 τ = 400kgm / s
Torsi 2 = Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat benda A (torsi bernilai negatif)
A A − = F l 2 τ
((10 )(10 / 2 )( )
2 −τ = kg m s x
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
36
(100 / 2 )( )
2 −τ = kgm s x
Papan berada dalam keadaan seimbang jika torsi total = 0.
Στ = 0
0 1 2 τ −τ =
400kgm2 / s 2 − (100kgm/ s 2 )(x) = 0
400kgm2 / s 2 = (100kgm/ s 2 )(x)
2
2 2
100 /
400 /
kgm s
x = kgm s
x = 4m
Agar papan berada dalam keadaan seimbang, benda A harus diletakkan 4 meter dari titik tumpuh.
guampang sekali….
Next level….
Contoh soal 3 :
Sebuah kotak bermassa 100 kg diletakkan di atas sebuah balok kayu yang disanggah oleh 2 penopang
(lihat gambar di bawah). Massa balok = 20 kg dan panjang balok = 20 meter. Jika kotak diletakkan 5
meter dari penopang kiri, tentukkan gaya yang bekerja pada setiap penopang tersebut.
Panduan Jawaban :
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
37
Catatan :
Perhatikan gambar di atas. Pada alas kotak juga bekerja gaya normal (N) yang arahnya ke atas. gaya
normal ini berperan sebagai gaya aksi. Karena ada gaya aksi, maka timbul gaya reaksi yang bekerja pada
balok kayu. Kedua gaya ini memiliki besar yang sama tapi berlawanan arah (kedua gaya saling
melenyapkan). Karenanya gurumuda tidak menggambarkan kedua gaya itu pada diagram di atas..
Keterangan diagram :
F1 = gaya yang diberikan penopang (sebelah kiri) pada balok
F2 = gaya yang diberikan penopang (sebelah kanan) pada balok
w kotak = gaya berat kotak
w balok = gaya berat balok (bekerja pada titik beratnya. Titik berat balok berada di tengah2… )
Langkah 2 : menumbangkan soal
Pada persoalan di atas terdapat 2 titik tumpuh, yakni titik tumpuh yang berada disekitar titik kerja F1 dan
titik tumpuh yang berada di sekitar titik kerja F2. Kita bisa memilih salah satu titik tumpuh sebagai
sumbu rotasi… Terserah kita, mau pilih titik tumpuh di bagian kiri (sekitar titik kerja F1) atau bagian
kanan (sekitar titik kerja F2). Hasilnya sama saja…
Misalnya kita pilih titik tumpuh di sekitar titik kerja F2 (bagian kanan) sebagai sumbu rotasi. Karena F2
berada di sumbu rotasi, maka lengan gaya untuk F2 = 0 (F2 tidak menghasilkan torsi).
Sekarang mari kita oprek setiap torsi yang dihasilkan oleh masing‐masing gaya (kecuali F2).
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
38
Torsi 1 :
Torsi yang dihasilkan oleh F1. Arah F1 ke atas sehingga arah rotasi searah dengan putaran jarum jam.
Karenanya torsi bernilai negatif
(20 ) 1 1 −τ = F m
Torsi 2 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat kotak (w kotak). Arah w kotak ke bawah sehingga arah rotasi
berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Karenanya torsi bernilai positif.
( )(15 ) 2 τ = wkotak m
( )( )(15 ) 2 τ = MassaKotak g m
(100 )(10 / 2 )(15 )
2 τ = kg m s m
2 2
2 τ =15000kgm / s
Torsi 3 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat balok (w balok). Arah w balok ke bawah sehingga arah rotasi
berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Karenanya torsi bernilai positif.
( )(10 ) 3 τ = wbalok m
( )( )(10 ) 3 τ = MassaBalok g m
(20 )(10 / 2 )(10 )
3 τ = kg m s m
2 2
3 τ = 2000kgm / s
Torsi Total :
Benda berada dalam keadaan seimbang, jika torsi total = 0 (syarat 2 keseimbangan benda tegar).
Στ = 0
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
39
2 3 1 0 τ +τ −τ =
15000 / 2000 / ( )(20 ) 0 1
kgm2 s 2 + kgm2 s 2 − F m =
17000 / ( )(20 ) 0 1
kgm2 s 2 − F m =
17000 / ( )(20 ) 1
kgm2 s 2 = F m
m
F kgm s
20
17000 2 / 2
1 =
2
1 F = 850kgm/ s
Besarnya gaya yang bekerja pada penopang sebelah kiri = 850 kg m/s2 = 850 N
Sekarang kita hitung gaya yang bekerja pada penopang kanan… Benda berada dalam keseimbangan, jika
gaya total = 0 (syarat 1 keseimbangan benda – benda dianggap partikel). Catatan : gaya yang berarah ke
atas bernilai positif sedangkan gaya yang arahnya ke bawah bernilai negatif
Karena gaya2 di atas hanya bekerja pada arah vertikal (sumbu y), maka secara matematis, syarat 1
keseimbangan dirumuskan sebagai berikut :
Σ Fy = 0
0 1 2 F − wKotak − wBalok + F =
850 / (100 )(10 / ) (20 )(10 / ) 0 2
kgm s 2 − kg m s 2 − kg m s 2 + F =
850 / (1000 / ) (200 / ) 0 2
kgm s 2 − kgm s 2 − kgm s 2 + F =
350 / 0 2
− kgm s 2 + F =
2
2 F = 350kgm/ s
Ternyata besarnya gaya yang bekerja pada penopang sebelah kanan = 350 kg m/s2 = 350 N
Tugas dari gurumuda :
Tadi khan kita memilih sumbu rotasi di sekitar titik kerja F2. Seandainya sumbu rotasi bekerja di sekitar
titik kerja F1, hasilnya bagaimana‐kah ? coba dioprek… hasilnya pasti sama….btw, oprek saja dulu, biar
dirimu bisa membuktikan kebenaran pernyataan gurumuda.
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
40
Contoh soal 4 :
Sebuah papan iklan yang massanya 50 kg digantung pada ujung sebuah batang besi yang panjangnya 5
meter dan massanya 10 kg (amati gambar di bawah). Sebuah tali dikaitkan antara ujung batang besi dan
ujung penopang. Tentukan gaya tegangan tali dan gaya yang dikerjakan oleh penopang pada batang
besi…..
Panduan Jawaban :
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
Keterangan diagram :
Fx = Gaya yang dikerjakan oleh penopang pada batang besi (komponen horisontal alias sumbu x)
Fy = Gaya yang dikerjakan oleh penopang pada batang besi (komponen vertikal alias sumbu y)
w batang besi = gaya berat batang besi (terletak di tengah‐tengah si batang besi)
w papan iklan = gaya berat papan iklan
Tx = gaya tegangan tali (komponen horisontal alias sumbu x)
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
41
Ty = gaya tegangan tali (komponen vertikal alias sumbu y)
Langkah 2 : menumbangkan soal
Gaya Fx dan Fy tidak diketahui. Oleh karena itu, alangkah baiknya kita pilih titik A sebagai sumbu rotasi.
karena berhimpit dengan sumbu rotasi maka lengan gaya untuk Fx dan Fy = 0 (tidak ada torsi yang
dihasilkan).
Torsi 1 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat batang besi. Arah w batang besi ke bawah, sehingga arah rotasi
searah dengan putaran jarum jam (Torsi bernilai negatif). Massa batang besi = 10 kg dan g = 10 m/s2.
Titik kerja gaya berada pada jarak 2,5 meter dari sumbu rotasi. Arah/garis kerja gaya berat tegak lurus
dari sumbu rotasi (90o)
sinθ 1 l = r
2,5 sin 90 sin 90 1 2 l = m o → o =
l 2,5m 2 =
( tan )(2,5 ) 1 −τ = wBa gBesi m
( )( )(2,5 ) 1 −τ = m g m
(10 )(10 / 2 )(2,5 )
1 −τ = kg m s m
2 2
1 −τ = 250kgm / s
Torsi 2 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya berat papan iklan. Arah w papan iklan ke bawah sehingga arah rotasi
searah dengan arah putaran jarum jam. Karenanya torsi bernilai negatif. Massa papan iklan = 50 kg dan
g = 10 m/s2. Titik kerja gaya berada pada jarak 4 meter dari sumbu rotasi. Arah/garis kerja gaya berat
tegak lurus dari sumbu rotasi (90o).
sinθ 2 l = r
4 sin 90 sin 90 1 2 l = m o → o =
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
42
l 4m 2 =
( )( ) 2 2 −τ = wPapanIklan l
( )( )(4 ) 2 −τ = m g m
(50 )(10 / 2 )(4 )
2 −τ = kg m s m
2 2
2 −τ = 2000kgm / s
Torsi 3 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya tegangan tali untuk komponen horisontal / sumbu x (Tx). Titik kerja gaya
tegangan tali berada pada jarak 5 meter dari sumbu rotasi. Perhatikan arah Tx pada diagram di atas….
Arah Tx sejajar sumbu rotasi (0o)
sinθ 3 l = r
5 sin 0 sin 0 0 3 l = m o → o =
0 3 l =
( )( ) 3 3 T l x τ =
( )(0) 3 x τ = T
0 3 τ =
Torsi 4 :
Torsi yang dihasilkan oleh gaya tegangan tali untuk komponen vertikal / sumbu y (Ty). Perhatikan arah
Tx pada diagram di atas…. Arah Ty tegak lurus sumbu rotasi (90o). Titik kerja gaya tegangan tali berada
pada jarak 5 meter dari sumbu rotasi. Karena arah gaya ke atas, maka arah rotasi berlawanan dengan
arah putaran jarum jam (Torsi bernilai positif).
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
43
sinθ 4 l = r
5 sin 90 sin 90 1 4 l = m o → o =
l 5m 4 =
( )( ) 4 4 τ = Ty l
( )(5 ) 4 τ = Ty m
Torsi Total :
Benda berada dalam keadaan seimbang, jika torsi total = 0 (syarat 2 keseimbangan benda tegar).
Στ = 0
0 4 3 2 1 τ +τ −τ −τ =
(Ty)(5m) + 0 − 2000kgm2 / s 2 − 250kgm2 / s 2 = 0
(Ty)(5m) − 2250kgm2 / s 2 = 0
(Ty)(5m) = 2250kgm2 / s 2
m
Ty kgm s
5
2250 2 / 2
=
Ty = 450kgm/ s 2
Gaya tegangan tali untuk komponen y = 450 kg m/s2 = 450 N
Kita bisa langsung menentukan Gaya tegangan tali untuk komponen x (Tx). Perhatikan lagi diagram di
atas. Tali membentuk sudut 30o terhadap batang besi. Karenanya besar tegangan tali untuk sumbu x (Tx)
dan sumbu y (Ty) bisa ditentukan dengan rumus sinus dan kosinus…
Tx = T cos teta
Ty = T sin teta
Ty = T sinθ
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
44
450kgm/ s 2 = T sin 30o
450kgm/ s 2 = T(0,5)
0,5
T = 450kgm/ s 2
T = 900kgm/ s 2
Nilai Tegangan tali (T) sudah diperoleh. Sekarang kita hitung Tx
Tx = T cosθ
Tx = (900kgm/ s 2 ) cos 30o
Tx = (900kgm/ s 2 )(0,87)
Tx = 783kgm/ s 2
Gaya tegangan tali untuk komponen x (Tx) = 783 kg m/s2 = 783 N
Gaya yang diberikan penopang pada batang besi berapa‐kah ?
Sekarang kita hitung gaya yang bekerja pada penopang… Benda berada dalam keseimbangan, jika gaya
total = 0 (syarat 1 keseimbangan benda).
Catatan :
Dengan berpedoman pada koordinat kartesius (x,y,z), gaya yang berarah ke atas dan ke kanan bernilai
positif sedangkan gaya yang arahnya ke kiri dan ke bawah bernilai negatif
Kita tinjau gaya‐gaya yang bekerja pada arah horisontal (sumbu x) terlebih dahulu. Lihat diagram di atas
dulu, biar nyambung... :
Σ Fx = 0
Fx − Tx = 0
Fx − 783kgm/ s 2 = 0
Fx = 783kgm/ s 2
Sekarang kita tinjau gaya‐gaya yang bekerja pada arah vertikal (sumbu y) :
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
45
Σ Fy = 0
Fy + Ty − wBa tan gBesi − wPapanIklan = 0
Fy + 450kgm/ s 2 −100kgm/ s 2 − 500kgm/ s 2 = 0
Fy −150kgm/ s 2 = 0
Fy =150kgm/ s 2
Selesai…. Bisa paham jalan cerita‐nya to ? sering2 latihan, pasti jadi mudah… next level
Contoh soal 5 :
Sebuah benda digantungkan pada kedua tali seperti tampak pada gambar di bawah. Jika massa benda =
10 kg, tentukan gaya tegangan kedua tali yang menahan benda tersebut…. (g = 10 m/s2)
Panduan Jawaban :
Langkah 1 : menggambarkan diagram gaya‐gaya yang bekerja pada benda
Keterangan gambar :
w = gaya berat benda = mg = (10 kg)(10 m/s2) = 100 kg m/s2
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
46
T1 = gaya tegangan tali (1)
T1x = gaya tegangan tali (1) pada sumbu x = T1 cos 45o = 0,7 T1
T1y = gaya tegangan tali (1) pada sumbu y = T1 sin 45o = 0,7 T1
T2 = gaya tegangan tali (2)
T2x = gaya tegangan tali (2) pada sumbu x = T2 cos 45o = 0,7 T2
T2y = gaya tegangan tali (2) pada sumbu y = T2 sin 45o = 0,7 T2
Langkah 2 : menumbangkan soal
Sebuah benda berada dalam keadaan seimbang, jika gaya total yang bekerja pada benda = 0 (syarat 1).
Terlebih dahulu kita tinjau komponen gaya yang bekerja pada arah vertikal (sumbu y) :
Σ Fy = 0
0 1 2 T y + T y − w =
0,7 0,7 100 / 2 0
1 2 T + T − kgm s =
+ = 2 →
1 2 0,7T 0,7T 100kgm/ s Persamaan 1
Sekarang kita tinjau komponen gaya yang bekerja pada arah horisontal (sumbu x) :
Σ Fx = 0
0 2 1 T x −T x =
0,7 0,7 0 2 1 T − T =
= → 2 1 T T Persamaan 2
Kita oprek lagi persamaan 1.
2
1 1 0,7T + 0,7T =100kgm/ s
2
1 1,4T =100kgm/ s
1,4
100 / 2
1
T = kgm s
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
47
2
T1 = 71,4kgm/ s
Karena T1 = T2, maka
T2 = 71,4 kg m/s2….
Guampang sekali…..
Referensi :
Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga
Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga
Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
SERI EBOOK GURUMUDA
Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009
48
Langganan:
Postingan (Atom)